Для вывода на экран дисплея справочной информации о команде limit с набором сопровождающих примеров, используйте следующую команду:
>?limit
Проектное задание 1.1
Вычислить предел 
двумя различными способами, описанными выше.
Тест рубежного контроля №1
Тест содержит 4 задания; даны четыре варианта ответа на каждый вопрос, из которых необходимо выбрать один верный. На выполнение каждого задания отводится 3 минуты. Выберите наиболее правильный, по Вашему мнению, вариант ответа и отметьте его любым значком в бланке ответов. Тест оценивается по 5-балльной системе: отлично – 4 правильных ответа; хорошо – 3 правильных ответа; удовлетворительно – 2 правильных ответа; неудовлетворительно – менее 2 правильных ответов.
1) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и вычисляет значение предела 
?
1. >lim(x=0,sin^2(x)/x^2);
2. >lim(sin(x)^2/x^2,x=0);
3. >limit(sin(x)^2/x^2,x=0);
4. >limit(x=0,sin(x)^2/x^2);
2) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и вычисляет значение предела 
?
1. >lim(a=0,x^a-1/a);
2. >lim((x^a-1)/a, a=0);
3. >limit((x^a-1)/a, a=0);
4. >limit(a=0,(x^a-1)/a);
3) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и вычисляет значение предела 
?
1. >limit(n^1/2*((n+1)^1/2-n^1/2),n=∞);
2. >limit(n^1/2*((n+1)^1/2-n^1/2),n=infinity);
3. >limit(n^(1/2)*((n+1)^(1/2)-n^(1/2)),n=infinity);
4. >limit(n^(1/2)*(n+1)^(1/2)-n^(1/2),n=infinity);
4) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и вычисляет значение предела функции 
?
1. >limit(x->sin(x)^3/x^3,x=0);
2. >limit(y(x),x=0); y:=x->sin(x)^3/x^3;
3. >y:=x->sin(x)^3/x^3; limit(y(x),x=0);
4. >y(x):=sin(x)^3/x^3; limit(y(x),x=0);
Бланк ответов
№ | 1 | 2 | 3 | 4 |
1) | ||||
2) | ||||
3) | ||||
4) |
МОДУЛЬ 2
Комплексная цель: изучение команды вычисления производных функций и выражений в среде Maple.
Краткое изложение программного материала: в модуле рассмотрены конкретные примеры вычисления производных варианты в двух возможных формах ее синтаксиса: выражения и функции:
– обыкновенные производные (выражения и функции);
– частные производные (функции нескольких аргументов).
В каждый подраздел модуля включен ряд проектных заданий для самостоятельной работы.
Содержание модуля 2
2. Дифференцирование выражений и функций.
В среде Maple можно легко найти обыкновенные и частные производные, как элементарных функций, так и специальных функций, использующихся в различных физических теориях.
2.1. Обыкновенные производные.
В этом разделе мы познакомимся с двумя командами дифференцирования. Первая команда используется для дифференцирования функций и выражений, а вторая только для функций. Рассмотрим сначала дифференцирование выражений на примере вычисления производных 1-го, 2-го и 3-го порядков тангенса. Вы можете использовать команду diff и сразу получить результат, или последовательно две команды Diff и value для получения того же результата. Последний вариант не менее полезен, так как он дает возможность проверки правильности набора дифференцируемого выражения.
> diff(tan(x),x);
> diff(tan(x),x$2);
> d:=Diff(tan(x),x$3);
> d:=value(d);
> d:=simplify(d);
Теперь рассмотрим пример дифференцирования функций.
> f:=x->tan(x)/x;
Команда Diff не работает при ее применении к функциям. Вместо нее необходимо использовать команду D. Это очень мощная команда, несмотря на ее небольшой размер. С ее помощью можно находить производные любого порядка функций нескольких переменных, но мы ограничимся случаем функции одной переменной. (Для вызова справки о работе с данной командой наберите в строке ввода >?D). Найдем первую производную функции f.
> fp:=D(f);
Заметим, что в результатом является функция fp(x). Существует несколько способов нахождения высших производных, но мы здесь рассмотрим наиболее общий.
> fpp:=D[1$2](f);
Единица в квадратных скобках означает, что дифференцирование проводится по первому аргументу (в данном случае единственному), а $2 означает, что дифференцирование проводится дважды. Для лучшего усвоения данного раздела вам предлагается несколько упражнений для практики.
Проектное задание 2.1.1
Вычислить производные, перечисленные ниже. Используйте форму дифференцирования выражений для вариантов (б, в,д, е,ж) и форму дифференцирования функций для вариантов (а, г). Попытайтесь упростить результат дифференцирования, используя команду simplify. Вы обнаружите, что данная команда не работает при ее применении к функциям. Эта проблема может быть разрешена следующим образом. Выделите мышью выражение, которое вы хотите упростить, скопируйте его в буфер обмена и свяжите его с новой переменной, отрежьте нежелательные аргументы. Затем следует выполнить команду упростить. После этого следует восстановить производную функции, используя пункт меню Edit: вырезать и вставить. Такое сочетание команд Maple и редактирования является хорошим способом устранения ошибок в алгебраических преобразованиях.
(а) 
(б) 
(в) 
(г) 
(д) 
(е) 
(ж) 
Здесь K(k)-полный эллиптический интеграл первого рода. В среде Maple для него используется обозначение EllipticK.
Проектное задание 2.1.2
Задача нахождения минимумов и максимумов функций часто встречается в физических приложениях математического анализа. Рассмотрим функцию 
. (Термин функция здесь используется в математическом смысле, а не в смысле формы определения функции в среде Maple). Для решения данной задачи предпочтительней использовать в среде Maple работу с выражениями. Сначала построим график указанной функции на интервале [0,10] изменения аргумента. Посмотрим на ее график и найдем приближенно значения аргумента x, при значениях которых функция имеет минимум или максимум. Вычислим производную данной функции в форме выражения и присвоим результат переменной f. Для точного нахождения положения экстремума воспользуемся командой fsolve, предназначенной для численного решения алгебраических уравнений. Например, для нахождения положения экстремума, расположенного в окрестности значения аргумента x=1.1, наберите в строке ввода команду
>fsolve(f,x=1.1);
Проектное задание 2.1.3
Из курса теории электричества и магнетизма известно, что электрический потенциал заряженной полусферы радиуса R с постоянной поверхностной плотностью заряда σ имеет следующую зависимость от z-координаты, если ось z направлена вдоль оси симметрии полусферы от центра к ее куполу:
> V:=-1/2*sigma*R*(-sqrt(R^2+z^2)+sqrt((z-R)^2))/(z*e0);
Здесь диэлектрическая постоянная ε0 обозначена как e0. Компоненты вектора напряженность электрического поля можно получить, дифференцируя потенциал. Попробуйте вычислить z-компоненту напряженности поля 
, используя среду Maple, и упростите полученное выражение. Вы увидите, что результат содержит незнакомую функцию csgn. Обратитесь к справке о данной функции, введя команду >?csgn и убедитесь, что вы понимаете, для чего она предназначена.
Присвоим переменным значения σ=1, R=1, e0=1, и построим график зависимости потенциала V и z-компоненты напряженности поля Ez от координаты z в диапазоне от -4 до 4. Участок графика величины Ez в окрестности z=R (R=1) имеет форму ступеньки, что согласуется с известной теоремой теории электромагнитного поля о том, что когда пересекается поверхностная плотность заряда, нормальная составляющая напряженности электрического поля испытывает скачек величиной σ/ε0.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
