>asympt(f(x),x,2); или >series(f(x),x=infinity,2);
Найдите асимптотические разложения следующих функций:
(а) J0(x) , (б) I1(x) , (в) K0(x) , (г) Г(x)
Используйте команду series для примеров (а), (б) и команду asympt для примеров (в), (г). В каждом случае сохраните только два члена в асимптотическом выражении, как выше указано в примерах использования обеих команд.
Я предложил использовать число 2 в качестве третьей опции, поскольку, как правило, нас интересует ведущий член асимптотического разложения, поскольку именно он дает ответ на важный вопрос о поведении функции на бесконечности: является ли функция затухающей, или неограниченно возрастающей, и по какому порядку степени аргумента это происходит?
Проектное задание 4.5
В специальной теории относительности Эйнштейна энергия объекта с массой m, движущегося со скоростью v, дается знаменитой формулой 
. Поставим вопрос, каким образом из этой формулы получается известное всем первокурсникам выражение для кинетической энергии массивных объектов 
. Ответ на этот вопрос легко получить из разложения в ряд Тейлора эйнштейновского выражения для энергии. Будем считать, что массивный объект движется со скоростью намного меньшей скорости света. Разложите указанную выше формулу в ряд Тейлора по переменной v и сохраните два первых члена разложения. Один из этих членов будет являться знакомым нам выражением для кинетической энергии тел в классической механике, а второй совпадет со знаменитой формулой Эйнштейна для энергии массы покоя. Какое численное значение третьей опции команды разложения в ряд Тейлора следует использовать для получения явных выражений для двух членов этого разложения?
Проектное задание 4.6
Из курса теории электричества и магнетизма нам известна формула, определяющая величину потенциала (в вольтах) точечного заряда 
. В качестве задания предлагается найти аналогичную формулу для потенциала электрического диполя, используя выражение для потенциала точечного заряда. Среда Maple поможет нам легко справиться с этим заданием. Электрический диполь представляет собой два заряда с величинами q и –q, разделенных расстоянием d. Дипольный момент таких зарядов обозначим символом p, а его величина p=qd. Давайте поместим положительный заряд в точку на оси Z декартовой системы координат на расстоянии 
от начала координат, а отрицательный заряд также на ось Z, но со значением координаты z=
. Переходя далее к сферической системе координат, запишем потенциал рассматриваемого диполя как функцию расстояния от начала координат r и полярного угла θ.
Найдите разложение в ряд данной функции по величине расстояния между зарядами d и сохраните только ведущий член разложения с целью вывода формулы для потенциала диполя в сферической системе координат. Дополнительно следует “подсказать” среде Maple, что величина расстояния r>0, введя соответствующую команду
>assume(r>0);
Поэкспериментируйте с порядком разложения потенциала в ряд и убедитесь, что задание величины порядка разложения, равной 1, не дает никакого полезного результата. Так как же найти только ведущий член разложения? Для этого в команде разложения в ряд следует указать еще одну дополнительную опцию 'leadterm'. Изучите самостоятельно встроенную в среду Maple справочную информацию о данной опции. Для вывода на дисплей соответствующей справки введите команду
>?series[leadterm].
Тест рубежного контроля №4
Тест содержит 3 задания; даны четыре варианта ответа на каждый вопрос, из которых необходимо выбрать один верный. На выполнение каждого задания отводится 3 минуты. Выберите наиболее правильный, по Вашему мнению, вариант ответа и отметьте его любым значком в бланке ответов. Тест оценивается по 5-балльной системе: отлично – 3 правильных ответа; хорошо – 2 правильных ответа; удовлетворительно – 1 правильный ответ; неудовлетворительно – не одного правильного ответа.
1) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и находит для функции 
разложение в ряд Тейлора в окрестности точки x=0, включая член погрешности разложения O(x10) ?
1. >taylor(sin(x)^3/x^3,x=0,10);
2. >taylor(x->sin(x)^3/x^3,x=0,10);
3. >taylor(sin(x)^3/x^3,x=0,12);
4. >taylor(x->sin(x)^3/x^3,x=0,12);
2) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и находит для функции 
разложение в ряд в окрестности точки сингулярности x=0, включая член погрешности разложения O(x10) ?
1. >series((exp(x)-1)/x^2,x=0,10);
2. >series((exp(1)^x-1)/x^2,x=0,10);
3. >series((exp(x)-1)/x^2,x=0,12);
4. >series((exp(1)^x-1)/x^2,x=0,12);
3) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и находит асимптотическое разложение функции 
, включая член погрешности разложения O(x10) ?
1. >asympt(x->x^(1/2)*((x+1)^(1/2)-x^(1/2)),x,10);
2. >asympt(x^(1/2)*((x+1)^(1/2)-x^(1/2)),x=infinity,10);
3. >asympt(x^(1/2)*((x+1)^(1/2)-x^(1/2)),x,10);
4. >series(x^(1/2)*((x+1)^(1/2)-x^(1/2)),x=infinity,10);
Бланк ответов
№ | 1 | 2 | 3 | 4 |
1) | ||||
2) | ||||
3) |
МОДУЛЬ 5
Комплексная цель: изучение команды суммирования конечных и бесконечных рядов в среде Maple.
Краткое изложение программного материала: в модуле рассмотрен конкретный пример нахождения суммы бесконечного ряда, встречающегося в курсе статистической физики, в двух возможных вариантах синтаксической записи членов ряда:
- в виде выражения;
- в виде функции индекса суммирования.
Указан способ доступа к встроенной справочной информации о команде суммирования, содержащей ряд примеров ее использования.
Содержание модуля 5
5. Суммирование рядов
Среда Maple позволяет производить суммирование рядов, как конечных, так и бесконечных (в случае если бесконечный ряд суммируем). Для этого следует использовать команду суммирования sum, синтаксис которой полностью аналогичен синтаксису изученной нами ранее команды интегрирования int. Отметим, что аналогично команде интегрирования, команда суммирования рядов также имеет инертную форму: Sum.
Просуммируем для примера ряд, встречающейся в курсе статистической физики 
.
> restart;
> sum(1/'n'^2,'n'=1..infinity);
и получим красивый и нетривиальный результат. Вы заметили, что индекс суммирования n, как в первом аргументе команды sum, задающем выражение для общего члена ряда, так и во втором аргументе, задающем пределы суммирования, записан в одиночных кавычках? Опыт работы в среде Maple показывает, что использование одиночных кавычек не всегда обязательно. Если вы, как в данном примере, начали сеанс работы после ввода команды restart, данный ряд можно просуммировать командой
> sum(1/n^2,n=1..infinity);
Однако если вы перед суммированием данного ряда уже использовали переменную n в качестве индекса для нумерации элементов последовательности или массива, и присвоили этой переменной конкретное значение, использование команды суммирования ряда, без использования одиночных кавычек приведет к ошибке. Запись индекса суммирования в одиночных кавычках среда Maple воспринимает как фиктивную переменную, и игнорирует все её предыдущие присвоения.
Команда sum, а также ее инертная форма Sum позволяет вычислять суммы рядов, члены которого заданы как функции индекса суммирования.
> fn:=n->1/n^2;
> s1:=Sum(fn(n),n=1..infinity);
> value(s1);
Не пренебрегайте встроенной в среду Maple справочной системой. Изучите примеры использования команды суммирования рядов. Для этого выведем их на дисплей с помощью команды > ?sum
Проектное задание 5.1
Вычислить перечисленные ниже суммы рядов, используя для записи общего члена ряда форму выражения в примерах (а, б,в) и форму функции в примерах (г, д,е).
(а) 
(б) 
(в) 
(г) 
(д) 
(е) 
Примечание: в примере (г) предполагается, что переменная N стремится к бесконечности в обоих слагаемых, а не только в записи верхнего предела суммирования. Вы должны получить в результате очень компактный ответ, содержащий единственный символ γ. Это не является ошибкой, так как этим символом обозначается постоянная Эйлера. Вычислите ее численное значение, используя команду >evalf(%);
Тест рубежного контроля №5
Тест содержит 4 задания; даны четыре варианта ответа на каждый вопрос, из которых необходимо выбрать один верный. На выполнение каждого задания отводится 3 минуты. Выберите наиболее правильный, по Вашему мнению, вариант ответа и отметьте его любым значком в бланке ответов. Тест оценивается по 5-балльной системе: отлично – 4 правильных ответа; хорошо – 3 правильных ответа; удовлетворительно – 2 правильных ответа; неудовлетворительно – менее 2 правильных ответов.
1) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и может быть использована для получения результата суммирования бесконечного ряда 
в аналитическом виде?
1. >value(sum(k/(k+1)^4,k=0..infinity));
2. >value(Sum(k/(k+1)^4,k=0..infinity));
3. >sum('k/(k+1)^4','k'=0..infinity);
4. >sum('k'/('k'+1)^4,'k'=0..infinity);
2) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и может быть использована для получения численного значения суммы бесконечного ряда 
?
1. >evalf(sum(1/k^4,k=1..infinity));
2. >evalf(Sum(1/k^4,k=1..infinity));
3. >evalf(sum('1/k^4','k'=1..infinity));
4. >evalf(sum(1/'k'^4,'k'=1..infinity));
3) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и может быть использована для получения результата суммирования конечного ряда 
в аналитическом виде?
1. >value(sum(k^2/(k+1)^4,k=0..N));
2. >value(Sum(k^2/(k+1)^4,k=0..N));
3. >sum('k^2/(k+1)^4','k'=0..N);
4. >sum('k'^2/('k'+1)^4,'k'=0..N);
4) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и может быть использована для получения численного значения суммы конечного ряда 
?
1. >evalf(sum(1/k^4,k=1..1000));
2. >evalf(Sum(1/k^4,k=1..1000));
3. >evalf(sum('1/k^4','k'=1..1000));
4. >evalf(sum(1/'k'^4,'k'=1..1000));
Бланк ответов
№ | 1 | 2 | 3 | 4 |
1) | ||||
2) | ||||
3) | ||||
4) |
Литература
1. Прохоров, Г.В, Леденев, М.А, Колбеев, символьных вычислений Maple V. Москва: Компания “Петит”, 1997. - 198c.
2. Говорухин, В.Н, Цибулин, в Maple. Математический пакет для всех. Москва: Издательство “Мир”, 1997. – 205c.
3. Васильев, А.Н, Самоучитель Maple 8. Москва: Издательство “Диалектика”, 2003. – 351c.
4. Дьяконов, В.П, Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. Москва: Солон-пресс, 2006. – 719c.
5. Градштейн, И.С, Рыжик, И.М, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва: Издательство “Наука”, 1997. – 1108 c.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
