Вы можете заметить, что в выражении для потенциала было использовано обозначение e0 вместо ε0. Это было сделано умышленно. Опыт работы в среде Maple показывает, что следует по возможности избегать использования переменных с индексами, поскольку они воспринимаются как элементы массива или таблицы. Сравните на графике величину скачка Ez с величиной σ/ε0. На вашем графике положительные значения координаты z в диапазоне от 0 до R соответствуют положению точки внутри полусферы, а в диапазоне от R до бесконечности, или отрицательные, соответствуют положению точки вне полусферы. Дайте физическую интерпретацию построенным графикам.
Проектное задание 2.1.4
Среда Maple позволяет вычислять производные функций, заданных в неявном виде. Предположим, что задано уравнение, связывающее функцию y и ее аргумент x, например 
. Мы хотим найти производную 
не используя явный вид функции 
. Для этого следует просто продифференцировать неявное уравнение. В результате получим новое уравнение 
, которое следует разрешить относительно искомой производной . Среда Maple выполнит дифференцирование, но только при условии, что вы сами подскажете, что y зависит от x. Например
> restart;
> eq:=x^2 + y(x)^3 = 3;
> deq:=diff(eq, x);
> dydx:=solve(deq, diff(y(x),x));
Если вы не хотите каждый раз в командной строке набирать y(x), можно использовать команду alias, и набирать просто у. В этом случае среда Maple автоматически заменит символ y на y(x) повсюду, где он встретится.
> restart;
> alias(y=y(x));
> eq:=x^2 + y^3 = 3;
> deq:=diff(eq, x);
> dydx:=solve(deq, diff(y, x));
Рассмотрим физический пример. Дисперсионное соотношение для электромагнитной волны в плазме имеет вид:
, где wp-плазменная частота. Фазовая скорость волны равна 
, а ее групповая скорость выражается через производную 
. В качестве первого задания, используя Maple, найдите явные выражения для фазовой и групповой скорости через wp, k и c, разрешив дисперсионное соотношение как уравнение относительно ω(k) с последующим дифференцированием. В качестве второго задания получите выражение для групповой скорости, использую прием дифференцирования неявно заданных функций.
2.2. Частные производные.
Среда Maple позволяет вычислять частные производные любого порядка функций нескольких переменных. Рассмотрим для примера функцию двух переменных 
. Вычислим частные производные первого порядка по обоим аргументам и смешанную производную второго порядка в варианте дифференцирования выражений.
> restart; f:=cos(x*y)/y;
> diff(f, x);diff(f, y);diff(f, x,y);
Сделаем тоже самое в варианте дифференцирования функций.
> restart; f:=(x, y)->cos(x*y)/y;
> D[1](f);D[2](f);D[1,2](f);
Проектное задание 2.2.1
Вычислите частные производные первого порядка по обоим аргументам (x, y) и все три частные производные второго порядка, включая смешанную, функции 
, здесь К(k)-полный эллиптический интеграл первого рода. (В среде Maple для него используется обозначение EllipticK). Проведите расчет производных в варианте дифференцирования выражений, используя команду diff. Упростите полученные выражения, используя команды expand (раскрыть скобки) и simplify.
Тест рубежного контроля №2
Тест содержит 4 задания; даны четыре варианта ответа на каждый вопрос, из которых необходимо выбрать один верный. На выполнение каждого задания отводится 3 минуты. Выберите наиболее правильный, по Вашему мнению, вариант ответа и отметьте его любым значком в бланке ответов. Тест оценивается по 5-балльной системе: отлично – 4 правильных ответа; хорошо – 3 правильных ответа; удовлетворительно – 2 правильных ответа; неудовлетворительно – менее 2 правильных ответов.
1) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и вычисляет производную выражения 
?
1. >diff(x, sin^3(x)/x^3);
2. >diff(sin(x)^3/x^3,x);
3. >Diff(sin(x)^3/x^3,x);
4. >Diff(x, sin(x)^3/x^3);
2) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и вычисляет производную выражения 
?
1. >diff(x, exp^x-1/x^2);
2. >diff((exp(x)-1)/x^2,x);
3. >Diff(x, exp^x-1/x^2);
4. >Diff((exp(x)-1)/x^2,x);
3) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и вычисляет производную функции 
?
1. > diff(x^1/2*((x+1)^1/2-x^1/2),x);
2. > D(x^1/2*((x+1)^1/2-x^1/2),x);
3. > D(x->x^(1/2)*((x+1)^(1/2)-x^(1/2)),x);
4. > D(x->x^(1/2)*((x+1)^(1/2)-x^(1/2)));
4) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и вычисляет вторую смешанную частную производную функции 
?
1. > D((x, y)->(1+tan^2(x)^2)*(1+3*tan^2(y)),x, y);
2. > D((x, y)->(1+tan(x)^2)*(1+3*tan(y)^2),x, y);
3. > D[1,2]((x, y)->(1+tan(x)^2)*(1+3*tan(y)^2));
4. > D(D((x, y)->(1+tan(x)^2)*(1+3*tan(y)^2)));
Бланк ответов
№ | 1 | 2 | 3 | 4 |
1) | ||||
2) | ||||
3) | ||||
4) |
МОДУЛЬ 3
Комплексная цель: изучение команды интегрирования функций и выражений в среде Maple.
Краткое изложение программного материала: в модуле рассмотрены конкретные примеры вычисления определенных и неопределенных интегралов в двух возможных формах синтаксиса подынтегрального выражения:
– однократные интегралы от элементарных функций;
– однократные интегралы от специальных функций;
– кратные (двойные и тройные) интегралы.
В каждый подраздел модуля включен ряд проектных заданий для самостоятельной работы.
Содержание модуля 3
3. Вычисление интегралов.
В курсе математического анализа вы изучали способы нахождения интегралов в аналитическом виде, основанные, как правило, на удачной замене переменной интегрирования. Математики давно облегчили этот процесс, опубликовав в виде отдельных справочников и таблиц результаты интегрирования как элементарных, так и специальных функций. По-видимому, наилучшим справочником является “Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений” и [5], который можно найти в библиотеке.
3.1. Интегрирование элементарных функций.
Для аналитического интегрирования в среде Maple используется команда int. Проинтегрируем для примера функцию sin(x).
> int(sin(x),x);
В следующем примере под интегралом стоит выражение f=sin(x)*x.
> f:=sin(x)*x; int(f, x);
(Отметим, что запись f(x) в случае выражений недопустима.)
Проинтегрируем функцию двух переменных g(x, y)=sin(x*y)*x по переменной x. Для задания функции и интегрирования введем две команды.
> g:=(x, y)->sin(x*y)*x;
> int(g(x, y),x);
Кроме команды интегрирования int в среде Maple имеется также инертная, или отложенная команда Int, предназначенная только для отображения на дисплее самого интеграла без его вычисления.
> s1:=Int(exp(x),x);
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
