«Использование современного пакета компьютерной алгебры Maple в физическом образовании бакалавров» (стр. 4 )

Вы можете спросить, а зачем нужна эта команда, если она ничего не делает? Дело в том, что Int команда, предназначенная в первую очередь для проверки правильности набора подынтегрального выражения. При наборе длинных выражений зачастую совершаются ошибки в расстановке скобок или в учете приоритета операций. Если вы допустили такую ошибку, то сразу ее обнаружите. Если подынтегральное выражение набрано правильно, то выполнить отложенное интегрирование можно с помощью команды value.

> s1:=Int(exp(x),x);

> s1:=value(s1);

Я предлагаю вам всегда вычислять интегралы таким способом, объединяя команды Int и value, поскольку вы потратите меньше времени на исправление досадных ошибок.

На следующем примере рассмотрим вычисление определенных интегралов.

> s2:=Int(tan(x),x=0..1);

> s2:=value(s2);

Для получения численного значение интеграла используйте команду evalf.

> evalf(s2);

Если вы хотите получить только численное значение результата интегрирования, можно обойтись и баз команды evalf, просто задав пределы интегрирования в форме числа с плавающей точкой.

> s2:=Int(tan(x),x=0..1.);

> value(s2);

Среда Maple позволяет вычислять интегралы и в бесконечных пределах, но при этом вам, возможно, придется ввести некоторые указания, используя команду assume. Это примерно все, что вам нужно знать для проведения интегрирования. Внимательно изучите справку о работе с командой интегрирования, введя >?int, и познакомьтесь с рядом полезных дополнительных опций команды интегрирования. Далее выполним ряд упражнений.

Проектное задание 3.1.1

Вычислите следующие интегралы, используя для записи подынтегрального выражения синтаксис выражений в примерах (а)-(г), и синтаксис функций в примерах (д)-(ж). Получите численные значения результата интегрирования для (д) и (е). Проблема возникнет с интегралом (ж). Попробуйте ее обойти, указав, что коэффициент a в показателе экспоненты положителен. Упростите ответ c использованием команды simplify.

(а) (б) (в) (г)

(д) (е) (ж)

Справка. Бесконечность в среде Maple обозначается как infinity.

Проектное задание 3.1.2

Рассмотрим поверхность полусферы, заданную сферическими координатами r=R и θ=0..π/2. На ее поверхности находится заряд с поверхностной плотностью σ. Найдем электростатический потенциал V(z) в точках, расположенных на оси z. Радиус-вектор точки наблюдения, расположенной на оси z, запишем как r1=zk, где k-единичный вектор в направлении оси z. Радиус-вектор бесконечно-малого участка поверхности с зарядом запишем как r2=Rn, где n-единичный вектор в направлении элемента заряда. Выразив расстояние |r1-r2| через cos(θ), получим:

Интегрирование проводится по обоим переменным θ (в пределах от 0 до π/2) и φ (в пределах от 0 до 2π). Результат интегрирования по переменной φ дает:

Определим потенциал V(z), как функцию от аргумента z, как мы это делали ранее. Например, экспоненциальную функцию можно задать таким образом:

> V:=z->exp(-z);

В нашем же случае, так как потенциал задан интегралом, мы используем для определения функции V(z) команду int, а именно >V:=z->int(…). Обозначим диэлектрическую постоянную ε0 как e0. Присвоим всем константам определенные численные значения для того чтобы построить график V(z).

>restart: e0:=8.854e-12; sigma:=1e-10; R:=0.5;

>V:=z->int(sigma*R^2*sin(theta)/sqrt(R^2+z^2

-2*R*z*cos(theta)),theta=0..Pi/2)/(2*e0);

Вы заметили, что Maple не возвращает результат в явном виде. Я не разработчик этой среды, поэтому для меня это осталось загадкой. Тем не менее, вы можете пользоваться V(z) как функцией, для вычисления потенциала в определенной заданной точке, или для построения графика.

(a) Вычислите значение потенциала в точках z=1.1 и z= -1.1

(б) Построите график V(z) в диапазоне значений z от -5 до 5.

(в) Вычислите общий заряд на полусфере и наложите на график функции V(z) потенциал точечного заряда, помещенного в начало координат, равному заряду полусферы. Оба графика на участках с |z|>>R должны быть близки друг к другу. Попробуйте изменить место расположения точечного заряда, чтоб добиться как можно лучшего совпадения обеих кривых. Напомню, что потенциал точечного заряда

Проектное задание 3.1.3

Рассмотрим пример использования интегралов в классической задаче механики о колебании маятника. Уравнение движения маятника имеет вид:

Здесь Ω – частота малых колебаний. Если мы умножим обе части этого уравнения на dθ/dt и проинтегрируем по времени, мы получим интеграл движения в форме закона сохранения полной энергии.

Здесь θ0 – амплитуда колебаний. Пусть в момент времени t=0 маятник был отклонен на угол θ0 и покоился, а затем был отпущен. Мы хотим вычислить время, за которое маятник достигает положения устойчивого равновесия (θ=0), т. е. четверть периода колебаний. (а) Представим интеграл движения, полученный выше, в виде:

.

Очевидно, что четверть периода колебаний задается интегралом:

.

(б) Попробуйте вычислить этот интеграл, обозначив θ через theta, и θ0 через theta0. В ответ Maple поместит на дисплей сообщение об ошибке.

Error, (in limit) numeric exception: division by zero

Дело в том, что Maple ничего не знает о типе и величине theta0. В принципе допустимо использовать эту величину как комплексную переменную. Постараемся ему немного помочь, указав вещественный тип и интервал значений величины theta0 с помощью команды assume.

> assume(theta0,real,0<theta0,theta0<Pi);

(Отметим, что все переменные, на которые наложены ограничения, отображаются с дополнительным значком ~). Выполните интегрирование снова. Теперь попытка увенчается успехом, но ответ выглядит несколько необычно, для тех, кто знаком с формулой для периода колебаний маятника. Выполним интегрирование снова, заменив .

> subs({cos(theta)=1-2*sin(theta/2)^2,cos(theta0)=1-

2*sin(theta0/2)^2},Int(…));

> value(4*%);

В итоге получилась знаменитая формула из курса классической механики.

(в) Постройте график периода колебаний, как функцию начального угла θ0 в диапазоне от 0 до π. Придайте физический смысл поведению кривой на участке малых значений θ0 и в окрестности π.

Проектное задание 3.1.4

Известно, что момент инерции твердого тела относительно мгновенной оси вращения выражается через интеграл где s - длина перпендикуляра, опущенного из точки интегрирования на ось вращения, ρ- плотность массы тела, dV - элемент объема. (dV=dxdydz в декартовых координатах).

(а) Используя Maple, вычислите момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр. Воспользуйтесь сферическими координатами, в которых . Направим координатную ось z по направлению оси вращения шара, тогда . Считаем, что плотность массы всюду одинакова и равна отношению массы шара M к его объему. Вы должны получить величину момента инерции .

(б) Найдите с использованием Maple момент инерции конуса относительно оси, проходящей через его ось симметрии. Используйте цилиндрические координаты, в которых . Считаем, что плотность массы всюду одинакова и равна отношению массы конуса M к его объему, т. е. .