> with(student);
На дисплее отобразиться полный список команд данного пакета. Для того, чтобы узнать назначение всех этих команд с примерами их использования, войдите в раздел справки по работе с пакетом расширения student.
> ?student
Тест рубежного контроля №3
Тест содержит 4 задания; даны четыре варианта ответа на каждый вопрос, из которых необходимо выбрать один верный. На выполнение каждого задания отводится 3 минуты. Выберите наиболее правильный, по Вашему мнению, вариант ответа и отметьте его любым значком в бланке ответов. Тест оценивается по 5-балльной системе: отлично – 4 правильных ответа; хорошо – 3 правильных ответа; удовлетворительно – 2 правильных ответа; неудовлетворительно – менее 2 правильных ответов.
1) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и вычисляет неопределённый интеграл 
?
1. >int(x,1/x/(1+x^2)^5);
2. >int(x,(1/x)/(1+x^2)^5);
3. >int(1/x*(1+x^2)^(-5),x);
4. >value(Int((1/x*(1+x^2)^5),x));
2) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и вычисляет определённый интеграл 
?
1. >int(x=0..infinity, sin^3(x)/x^3);
2. >int(x=0..infinity, sin(x)^3/x^3);
3. >int(sin(x)^3/x^3,x=0..infinity);
4. >value(Int(sin(x)^3/x^3,x=0..infinity));
3) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и вычисляет двойной определённый интеграл 
?
1. >int(int((1+xy)^(-1),x=0..y),y=0..1);
2. >int(int(1/(1+xy),y=0..1),x=0..y);
3. >int(int(1/(1+x*y),x=0..y),y=0..1);
4. >value(Int(Int(1/(1+x*y),x=0..y),y=0..1));
4) Какая из перечисленных команд имеет в среде Maple синтаксически правильную запись и вычисляет численное значение тройного интеграла 
с точностью до пяти значащих цифр?
1. > evalf(int(int(int(1/(1+x*y*z),x=0..y,5),y=0..z,5),z=0..1,5));
2. > evalf(int(int(int(1/(1+x*y*z),x=0..y),y=0..z),z=0..1),5);
3. > evalf(Int(Int(Int(1/(1+x*y*z),x=0..y,5),y=0..z,5),z=0..1,5));
4. > evalf(Int(Int(Int(1/(1+x*y*z),x=0..y),y=0..z),z=0..1),5);
Бланк ответов
№ | 1 | 2 | 3 | 4 |
1) | ||||
2) | ||||
3) | ||||
4) |
МОДУЛЬ 4
Комплексная цель: изучение команды разложения в степенной ряд функций и выражений в среде Maple.
Краткое изложение программного материала: в модуле на конкретном примере разложения функции гиперболического секанса в ряд Тейлора показано назначение всех опций команды taylor. Модуль содержит ряд проектных заданий для самостоятельной работы, в которых даны дополнительные сведения о командах разложения функций в степенные ряды в окрестности точек сингулярности (команда series) и в асимптотические ряды (команда asympt).
Содержание модуля 4
4. Разложение в ряды
Одной из наиболее важных математических идей во многих физических теориях является идея представления решения той или иной задачи в виде разложения в ряд. В физике это важно, потому что обычно невозможно получение точного аналитического решения поставленной задачи, и представление решения в виде ряда дает нам общее представление о качественном поведении ее решения. Рассмотрим, например функцию sech(x). Это функция гиперболического секанса. И что это говорит нам о ее поведении? В окрестности нулевого значения аргумента гиперболический секанс аппроксимируется простой функцией 
.
Теперь вы можете видеть, что при нулевом значении аргумента она принимает значение, равное единице, и ведет себя как перевернутая парабола вдоль обоих направлений, отложенных от точки x=0. Но таково поведение гиперболического секанса в сравнительно малой окрестности нуля ее аргумента (|x|<1). При большом значении аргумента (|x|>>1) данная функция аппроксимируется функцией 
. Отсюда видно, что с увеличением модуля аргумента гиперболический секанс начинает вести себя как экспоненциально затухающая функция, так что ее общее поведение на всем интервале по форме напоминает стог сена.
Среда Maple позволяет находить аппроксимации большинства элементарных и специальных (высших трансцендентных) функций с помощью команд: taylor, series и asympt. Для вызова справочной информации об указанных командах достаточно ввести имя соответствующей команды, поместить курсор на ее имя и нажать функциональную клавишу F1. В данном разделе мы рассмотрим первую из этих команд, т. е. команду разложения функций в ряд Тейлора.
Согласно теореме Тейлора функция f(x), имеющая определенное значение вместе со всеми своими производными в точке x=a, в окрестности этой точки может быть аппроксимирована рядом:
+ . . .
Найдем разложение гиперболического секанса в ряд Тейлора в окрестности точки x=0, используя для этого команду taylor.
> taylor(sech(x),x=0,20);
Опция x=0 задает окрестность разложения, т. е. a=0 для рассматриваемого случая. Следующая опция 20 задает количество членов ряда, включая член погрешности разложения O(x20).
Проектное задание 4.1
Найдите разложение в рад Тейлора для следующих функций в окрестности точки x=0, включая член погрешности разложения O(x10).
(а) sin(x) , (б) cos(x) , (в) arctan(x), (г) ex , (д) ln(1+x) , (е) (1+x)p
Результат будет выглядеть очень впечатляюще, но в большинстве проблем физики, где разложение в ряды являются важными, обычно сохраняют только два или три первых члена разложения, поэтому зачастую достаточно использование команды разложения taylor(f(x),x=0,3).
Проектное задание 4.2
Среда Maple позволяет находить разложение практически всех, использующихся в физических приложениях, специальных функций в ряд Тейлора. Найдите соответствующие разложения для следующих функций, включая член погрешности разложения O(x10):
(а) J0(x) , (б) I2(x) , (в) K(x) (полный эллиптический интеграл EllipticK),
(г) Г(x) . Ответ для варианта (г) будет мало пригоден для его дальнейшего применения, так как найденные величины коэффициентов разложения еще не представлены в численном виде. Последнее легко сделать, используя команду >evalf(%); или c самого начала задать точку окрестности разложения в форме числа с плавающей точкой, т. е. x=1.0
Проектное задание 4.3
Попытайтесь найти разложение в ряд Тейлора функции 
из семейства функций Бесселя в окрестности точки x=0. Данная функция в среде Maple обозначается как BesselK(0,x). Ответа вы не получите, но на дисплей отобразится сообщение, которое оказывается весьма полезным.
Error, does not have a taylor expansion, try series()
Дело в том, что рассматриваемая функция имеет логарифмическую сингулярность в окрестности точки x=0, так что все ее производные в данной точке обращаются в бесконечность. Поэтому ее разложение в ряд Тейлора в окрестности точки сингулярности попросту невозможно.
Но в математическом анализе существуют и иные виды рядов для аппроксимации функций. В среде Maple для этой цели следует использовать команду series, полностью аналогичную команде taylor, но более общую, позволяющую находить разложение функций в ряды в окрестности положений точек сингулярностей. Введите команду >series(BesselK(0,x),x=0,3);
и посмотрите на полученный результат.
Сосредоточим наше внимание только на ведущем члене разложения. Ясно видно, что функция K0(x) действительно имеет логарифмическую сингулярность. Заметим также, что в разложении в ряд появляется постоянная Эйлера, обозначенная как γ. Определение этой постоянной содержится в справочной информации, которую можно вывести на дисплей, введя команду >?gamma. Выполнив указанные пункты, найдите разложение в ряд для следующих функций (в окрестности нулевого значения аргумента):
(а) 
, (б) 
, (в) 
.
Попробуйте использовать значение третий опции команды разложения в ряд, не только равное 3, как в предыдущем примере, но и большие величины, и проанализируйте полученные в этом случае члены оценки ошибки разложения.
Проектное задание 4.4
Существует иной вид разложения, часто используемый в математической физике: асимптотическое разложение. Формально это разложение в окрестности бесконечности, которое на первый взгляд покажется странным, но дает представление о поведении функции, когда ее аргумент принимает достаточно большие значения. В среде Maple для нахождения асимптотического разложения имеются две равнозначных команды:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
