Методические указания к выполнению типового расчета по теме: «Дифференциальные уравнения» (стр. 2 )

Ответ: .

1.2. .

Решение. Объединим члены, содержащие dx и dy:

,

.

Разделив обе части полученного уравнения на произведение , сведем его к представлению (5): ; , С>0;

.

Применяя формулу , получаем:

,

,

,

, .

Ответ: .

1.3. .

Решение. Разделим переменные и проинтегрируем: , , , , или .

Для удобства логарифмирования положим , где C2¹0, а C1 принимает все значения от -¥ до +¥. Тогда и потенцирование приводит к общему решению |ycosx|=|C2| Þ y=±C2secx Þ y=C3secx. Очевидно, исходное уравнение имеет также решение у=0, которое в общее решение не входит в связи с тем, что C2¹0 Þ C3¹0. Если ввести новый параметр C так, чтобы он принимал и нулевое решение, то решение y=0 будет содержаться в общем y=C×secx.

Ответ: y=C×secx.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Функция f(x, y) называется однородной измерения т, если выполняется условие: . При т=0

, (8)

получаем однородную функцию нулевого измерении. Положив в равенстве (8)

, устанавливаем, что . Если ввести функцию отношения , то на основании представления (8) запишем: . Таким образом, однородная функция нулевого измерения является функцией отношения . Очевидно, отношение двух однородных функции P(x, y) и Q(x, y) одного измерения представляет собой однородную функцию нулевого измерения, то есть зависит от отношения .

Дифференциальное уравнение (2) считают однородным, если P(x, y) и Q(x, y)- однородные функции одного и того же измерения. Такое уравнение, согласно изложенному выше, приводится к виду:

(9)

и с помощью подстановки , , сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

Действительно, используя указанную подстановку, уравнение (9) приведем к виду , . Полагая , разделим переменные: . Тогда . После нахождения интеграла в левой части последнего равенства следует вернуться к первоначальной переменной у, в результате чего получим общее решение уравнения (9).

Замечание. Если , то есть , то уравнение (9) принимает вид и является уравнением с разделяющимися переменными.

Примеры с решениями

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

2.1. .

Решение. Имеем однородное уравнение первого порядка. Введем подстановку: , , .

Данное уравнение преобразуется к виду: , .

Разделим переменные: .

Интегрируя, получим: ,

, , , .

Ответ: .

2.2. .

Решение. Полагаем , , и получаем уравнение:

,

,

,

,

,

,

.

Ответ: .

2.3. .

Решение. Выразим y': ,

(10)

Уравнение (10) имеет вид (9), следовательно, является однородным дифференциальным уравнением.

Используя подстановку , , , получаем: , ; ,

поэтому , .

В последнем уравнении разделим переменные: . Общий интеграл выразится так:

, .

На основании табличных формул получаем:

, , , , , следовательно, , .

Ответ: .