Методические указания к выполнению типового расчета по теме: «Дифференциальные уравнения» (стр. 6 )

Введем подстановку , . Получаем:

, .

Решаем систему:

Из первого уравнения системы:

, ,

, , , .

Полагая =1 и выбирая знак “+”, находим и подставляем во второе уравнение системы.

Тогда

,

,

,

,

.

Так как , z=у¢, то , .

Интегрируя последнее уравнение, находим общее решение исходного уравнения:

, где .

Ответ: .

Уравнения вида F(y,y',y¢¢)=0

Указанные уравнения второго порядка не содержат явно независимую переменную. Они допускают понижение порядка на единицу, если применить подстановку у¢=z и при этом переменную у считать новым аргументом. Применяя правило дифференцирования сложной функции, установим, что . Получаем дифференциальное уравнение первого порядка: . Найдем его общий интеграл F1(у, z, C1)=0 и заменим в нем z на y¢. Снова получим дифференциальное уравнение F1(у, у¢, C1)=0 первого порядка, которое также следует решить.

Примеры с решениями

Задача 8. Найти решение задачи Коши для заданного дифференциального уравнения.

8.1. , , .

Решение. В уравнении отсутствует аргумент x. Положим у¢=z.

Тогда и исходное уравнение преобразуется к виду: .

Разделим переменные: ,

,

,

.

Но z=у¢, поэтому:

. (34)

Используем начальные условия , и из представления (34) получим:

, .

Подстановка значения в выражение (34) дает:

, , .

Так как при производная , то выбираем знак “+”: .

Далее, в соответствии с начальными условиями ,

поэтому , , .

Подставляя начальные условия , x=1,

найдем С2: , , .

Получим частный интеграл .

Ответ: .

8.2. , , .

Решение. Положим у¢=z, .

Тогда уравнение преобразуется к виду .

В соответствии с начальными условиями и поэтому .

Разделим переменные: , ,

,

,

,

.

При , находим С1: .

Тогда , , .

Поскольку при производная , то выбираем знак “+” и находим

,

,

,

,

,

,

,

.

В соответствии с начальными условиями .

Полагая x=0, , определим 2: .

Тогда , , , .

Ответ: .

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Так называются дифференциальные уравнения вида:

, (35)

где p, q – действительные числа.

Функции y1(x), y2(x) называют линейно независимыми, если равенство:

(36)

выполняется только при . Если же в (36) хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то говорят, что y1(x), y2(x) – линейно зависимые функции. Условие (36) можно перефразировать так: функции y1(x), y2(x) – линейно зависимы, если существует такая константа C¹0, что ; в противном случае эти функции линейно независимы.