Методические указания к выполнению типового расчета по теме: «Дифференциальные уравнения» (стр. 4 )

Приравнивая к нулю выражение в скобках, получим систему уравнений для нахождения неизвестных функций u(x), v(x):

Решаем первое уравнение системы: , , ,

, 1>0, , .

Положим 1=1, выберем знак “+” и найдем .

Подставим выражение во второе уравнение системы.

Получим: , , , . Так как y=u×v, , , то .

Ответ: .

3.3. , .

Решение. Заданное дифференциальное уравнение является линейным. Введем подстановку y=u×v. Тогда и уравнение приводится к виду: . Объединим члены, содержащие u(x) или v(x):

. (21)

Функцию u(x) выберем так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю:

. (22)

Из (21) с учетом (22) следует, что . Система (19) в данном случае запишется так:

(23)

Решаем первое из уравнений системы: , , , , , , . Полагаем 1=0 и выбираем

. (24)

Подставим выражение (24) во второе уравнение системы (23):

, , , ,

. (25)

Для нахождения интеграла в правой части равенства (25) применим подстановку , тогда , , . Интегрирование по частям дает: , , , , . Итак ,

. (26)

Используя представления (24) и (26), получаем общее решение исходного уравнения: или

. (27)

Решим задачу Коши, используя начальное условие . Найдем значение C, полагая в уравнении (27) х=0, у=-1:

, , .

Подставляя в выражение (27) значение с=1, находим частное решение заданного уравнения, удовлетворяющее начальному условию. Задача Коши решена.

Ответ: .

Задача 4. Решить задачу Коши.

4.1. , .

Решение. Будем считать х функцией от у и заданное уравнение приведем к виду:

или

. (28)

Уравнение (28) является линейным относительно функции x=x(y).

Применим подстановку x=uv, где в силу принятого соглашения u=и(у), v=v(y).

Таким образом, .

Исходное уравнение преобразуется так: ,

.

Получаем систему уравнений:

. (29)

Решим первое уравнение системы:

, , , ,

. (30)

С учетом (30) второе уравнение системы (29) примет вид: .

Разделим переменные: , на основании формулы .

Следовательно, общее решение имеет вид: .

Используем начальное условие : , , =0.

Подставляя это значение в общее решение, находим частное решение, удовлетворяющее начальному условию : .

Это частное решение можно также записать в виде: , , , .

Ответ: .

Дифференциальные уравнения Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид:

, (31)

где n- любое действительное число, п¹0, п¹1.

При п=0 дифференциальное уравнение (31) является линейным, при n=1- уравнением с разделяющимися переменными. Подстановка сводит уравнение (31) к линейному дифференциальному уравнению первого порядка. На практике чаще уравнение Бернулли решают так же, как и линейное, с помощью замены .

Примеры с решениями

Задача 5. Найти решение задачи Коши.

5.1. , .

Решение. Имеем дифференциальное уравнение Бернулли (п=4).

Подстановка , преобразует уравнение следующим образом: , .