Методические указания к выполнению типового расчета по теме: «Дифференциальные уравнения» (стр. 1 )

МПС РОССИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ростовский государственный университет путей сообщения

Министерства путей сообщения Российской Федерации»

(РГУПС)

, ,

,

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ:

«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Ростов-на-Дону

2003

УДК 512.2 (075.6)

и др.

Методические указания к выполнению типового расчёта по теме: «Дифференциальные уравнения» / , , . - Ростов н/Д: Рост. гос. ун-т путей сообщения, 2003.- 42с.

Изложены способы решений дифференциальных уравнений, содержится большое количество типовых примеров с решениями и необходимый теоретический материал. Предлагаемые задачи соответствуют заданиям типового расчета по дифференциальным уравнениям.

Предназначены для студентов I курса всех специальностей РГУПСа и имеют цель оказать помощь студентам в выполнении типового расчета по дифференциальным уравнениям.

Одобрены к изданию кафедрой «Высшая математика - 1» РГУПСа.

Библиогр.: 4 назв.

Рецензент канд. техн. наук, доц. (РГУПС).

КОЛТУН Ирина Александровна

СТАДНИК Людмила Николаевна

ФОМИЧЕВА Елена Борисовна

Методические указания к выполнению типового расчета по теме: «Дифференциальные уравнения»

Редактор

Техническое редактирование и корректура

Подписано к печати 10.06.03. Формат 60х84/16.

Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 2,44.

Уч.-изд. л 2,32. Тираж 100 экз. Изд № 000. Заказ № 000.

Цена договорная.

Ростовский государственный университет путей сообщения.

Ризография УИ РГУПС.

Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. Народного ополчения, 2

© Ростовский государственный университет путей сообщения, 2003

СОДЕРЖАНИЕ

1. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Основные понятия

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения Бернулли

2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Основные понятия

Уравнения вида y²=¦(x)

Уравнения вида F(x,y',y²)=0

Уравнения вида F(y,y',y¢¢)=0

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

3. Системы линейных дифференциальных уравнений

Рекомендуемая литература

1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия

Функциональное уравнение F(x, y, y')=0, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у(х) и ее производную у'(х), называется дифференциальным уравнением первого порядка. В случае, если указанное уравнение оказывается возможным разрешить относительно у', его записывают в виде:

у'=ƒ(х, у). (1)

Решением дифференциального уравнения на интервале [а, b] называется такая функция у=j(х), которая при подстановке в уравнение вместе со своей производной j'(х) обращает его в тождество для " х Î [а, b]. График решения данного уравнения называется интегральной кривой.

Так как , то для дифференциального уравнения первого порядка употребляют также запись:

P(x, y)dx + Q(x, y)dy=0. (2)

Для уравнения (1) справедлива теорема Каши существования и единственности решения дифференциального уравнения:

Пусть в уравнении (1) функция ƒ(х, у) и ее частная производная ƒ¢y(х, у) определены и непрерывны в некоторой области D изменения переменных х, у и точка М0(х0, у0) Î D. Тогда существует единственное решение у=j(х) этого уравнения, удовлетворяющее условию у(х0)=у0.

Геометрический смысл теоремы: через каждую точку М(х, у) Î D проходит единственная интегральная кривая. Условие у(х0)=у0 называется начальным.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка назовем функцию у=j(х, C), зависящую от одной произвольной постоянной C и обладающую следующими свойствами:

1)  при любом конкретном значении C из некоторого множества функция у=j(х, C) является решением исходного уравнения;

2)  каково бы ни было начальное условие у(х0)=у0, найдется такое значение С=С0, при котором функция у=j(х, C0) удовлетворяет заданному уравнению.

Частным решением называется любая функция у=j(х, С0), полученная из общего решения у=j(х, С) при определенном значении произвольной постоянной С. Решение F(х, у, С)=0 дифференциального уравнения, записанное в неявном виде, называют общим интегралом этого уравнения. Аналогично определяется частный интеграл F(х, у, С0)=0 дифференциального уравнения.

Частному решению (интегралу) соответствует единственная интегральная кривая, проходящая через заданную точку плоскости, общему решению (интегралу) - множество (семейство) интегральных кривых, зависящих от одной произвольной постоянной С (одного параметра).

Решить (проинтегрировать) дифференциальное уравнение - это значит найти:

а) общее решение (интеграл), если начальные условия не заданы;

б) частное решение (интеграл), удовлетворяющее начальным условиям, если они имеются.

Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Замечания.

1. Если задано уравнение F(х, у, С)=0, определяющее на плоскости некоторое однопараметрическое семейство линий, то, исключая из системы уравнений F(х, у, С)=0, F¢х(х, у, С)=0 параметр С, получим, вообще говоря, дифференциальное уравнение указанного семейства кривых.

2. Не существует единого метода отыскания решений уравнения (1) при любой правой части ƒ(х, у). В связи с этим ограничимся рассмотрением методов решения этого уравнения для некоторых частных случаев.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение (2) называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, если функции P(x, y) и Q(x, y) разлагаются на множители так, что каждый множитель зависит только от х или только от у:

P(x, y)=ƒ1(х)×j2(у), Q(x, y)=ƒ2(х)×j1(у). (3)

С учетом представлений (3) от уравнения (2) переходим к уравнению с разделяющимися переменными:

ƒ1(х)×j2(у)dx + ƒ2(х)×j1(у)dy=0. (4)

Обе части уравнения (4) разделим на ƒ2(х)×j2(у)¹0 и получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными

. (5)

Общий интеграл уравнения (5) запишется так:

. (6)

Замечание. При делении обеих частей уравнения (4) на произведение ƒ2(х)×j2(у) могут быть потеряны те решения х(у)=х0 и у(х)=у0, при которых ƒ2(х)=0 и j2(у)=0 соответственно. В связи с этим после нахождения общего интеграла рекомендуется проверить, содержатся ли в нем упомянутые выше частные решения при определенных значениях параметра C. В случае положительного ответа потери корней не происходит. В противном случае эти частные решения следует включить в состав интеграла.

Примеры с решениями

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде F(х, у)=С).

1.1. .

Решение. , поэтому исходное дифференциальное уравнение примет вид: или . В соответствии с (4) получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: .

Обе части полученного уравнения разделим на множитель для " х Î (-¥;¥): .

На основании равенства (6) имеем:

. (7)

Так как, то из равенства (7) получаем общий интеграл дифференциального уравнения: .