Методические указания к выполнению типового расчета по теме: «Дифференциальные уравнения» (стр. 3 )

2.4. .

Решение. Числитель и знаменатель правой части почленно разделим на х2 и получим однородное уравнение: . Пусть , , . Тогда

. (11)

С помощью определенных преобразований приведем полученное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными: , , .

Разделим переменные: , , , ,

, .

Полагая , находим общий интеграл исходного уравнения:

.

Ответ: .

Замечание. При решении уравнения 2.4 его не обязательно приводить к виду (9). Функции P(x, y)=x2+2xy-5y2, Q(x, y)=2x6-6xy являются однородными второго измерения, поскольку:

P(lx, ly)=(lx)2+2(lx)(ly)-5(ly)2=l2x2+2l2xy-5l2y2=l2(x2+2xy-5y2)=l2P(x, y);

Q(lx, ly)=2(lx)2-6(lx)(ly)=2l2x2-6l2xy=l2(2x2-6xy)=l2Q(x, y);

P(lx, ly)=l2P(x, y), Q(lx, ly)=l2Q(x, y).

Таким образом, исходное уравнение является однородным. Подстановка y=tx, y’=t’x+t приводит его к виду:

, . После сокращения в правой части на х2 получим дифференциальное уравнение (11).

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение F(x, y, y')=0 называют линейным, если искомая функция и ее производная содержатся в первой степени. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

. (12)

При Q(x)=0 уравнение (12) принимает вид у'=-P(x)×y и называется линейным однородным или без правой части. Линейное уравнение (12) называют неоднородным или уравнением с правой частью. Линейное однородное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и его общее решение имеет вид:

, (13)

где C- произвольная постоянная; - одна из первообразных функции P(x). Используют два способа отыскания общего решения линейного неоднородного уравнения (12).

1. Метод вариации произвольной постоянной

Решение уравнения (12) будем искать в виде (13), считая C функцией от x: C=C(x). Тогда,

. (14)

Найдем производную

. (15)

Подставим выражения (14) и (15) в уравнение (12):

, , .

Интегрируя последнее уравнение, находим

, (16)

где С- произвольная постоянная; - одна из первообразных. Выражение (16) подставим в формулу (14) и получим общее решение уравнения (12):

. (17)

2. Метод подстановки

Положим y=u×v, где u(x), v(x) – непрерывно дифференцируемые функции. Тогда и уравнение (12) принимает вид: . Сгруппируем члены, содержащие u(x) или v(x):

. (18)

Выберем функцию u(x) так, чтобы в равенстве (18) выражение в скобках равнялось нулю. Тогда уравнение (18) приведется к системе уравнений:

(19)

Решаем первое уравнение системы (19) как уравнение с разделяющимися переменными и выбираем какое-либо частное его решение, например, и=u1(x). Подставляя функцию u1(x) во второе уравнение системы (19), вновь получим уравнение с разделяющимися переменными: . Находим общее решение этого уравнения v=v(x, c). Перемножая найденные функции и=u1(x) и v(x, с), получаем общее решение уравнения (12): y=u1(x)v(x, c).

Примеры с решениями

Задача 3. Найти решение задачи Коши.

3.1. , y(1)=1.

Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. С этой целью рассмотрим сначала соответствующее однородное линей­ное уравнение и найдем его общее решение:

, , ,

, , , .

Поэтому общее решение исходного уравнения ищем в виде y=(x)×x. Находим y¢=¢(x)×x+(x) и подставляем y и y' в заданное уравнение:

или , откуда .

Интегрируя, получаем: .

К интегралу в правой части последнего равенства применим метод интегрирования по частям, полагая , .

Тогда , , .

Следовательно, общее решение уравнения есть или

. (20)

Используя начальные условия x=1, y=1, из уравнения (20) находим: . Следовательно, =0. Из равенства (20) получаем решение задачи Коши: .

Ответ: .

3.2.

.

Решение. Заданное уравнение является линейным. Решим его методом подстановки: y=u×v, .

Уравнение преобразуется к виду: . Объединим члены с функцией v(x): .