Методические указания к выполнению типового расчета по теме: «Дифференциальные уравнения» (стр. 7 )

Теорема 2. Если функции y1(x), y2(x) являются линейно независимыми решениями уравнения (35), то общее решение этого уравнения имеет вид:

(37)

где 1, 2 – произвольные постоянные.

Уравнение

(38)

называется характеристическим для уравнения (35). Пусть k1, k2 – корни уравнения (38):

.

Общее решение (37) уравнения (36) принимает определенный вид в зависимости от значений k1, k2.

1) k1≠k2. Корни характеристического уравнения действительные и различные.

; (39)

2) k1,2=k. Корни характеристического уравнения действительные и равные.

; (40)

3) . Корни характеристического уравнения комплексные.

. (41)

Примеры с решениями

Задача 9. Решить уравнения.

9.1. .

Решение. Составим характеристическое уравнение .

В соответствии с (39) общее решение .

Ответ: .

9.2. .

Решение. Найдем корни характеристического уравнения:

и применим формулу (40) при k=-3.

Тогда общее решение .

Ответ: .

9.3. .

Решение. Решаем характеристическое уравнение:

.

Так как - мнимая единица, то .

В соответствии с (41) a=1, b=3 и общее решение .

Ответ: .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Такие уравнения имеют вид:

, (42)

где p, q – действительные числа, ¦(x)¹0. Соответствующим уравнению (42) однородным дифференциальным уравнением является уравнение (35). Для отыскания общего решения уравнения (42) используется теорема 3.

Теорема 3. Общее решение уравнения (42) определяется формулой , где - общее решение соответствующего однородного уравнения (35), - некоторое частное решение неоднородного уравнения (42).

Общее решение определено равенством (37). В тех случаях, когда правая часть ¦(x) уравнения (42) имеет специальный вид, частное решение можно найти с помощью метода неопределенных коэффициентов. Рассмотрим некоторые виды функции ¦(x):

1) правая часть ¦(x) уравнения (42) имеет вид:

, (43)

где - многочлен степени n с действительными коэффициентами. Тогда v(x) ищется в виде:

, (44)

где - многочлен степени n (Pn(x) и Qn(x) – многочлены одной степени!) с неопределенными коэффициентами, l- число корней характеристического уравнения (38), совпадающих с a.

Частные случаи:

а)

. (45)

В равенстве (43) a=0 и в соответствии с (44)

, (46)

где l - число корней характеристического уравнения, равных нулю.

б)

, (47)

где A – некоторое число (оно может рассматриваться как многочлен нулевой степени). Согласно (44) в случае правой части вида (47) частное решение

, (48)

где a – неизвестное число, которое нужно найти.

2) правая часть ¦(x) уравнения (42) имеет вид:

, (49)

где r, w, A, B – действительные числа. Тогда вид частного решения определяется по формуле:

, (50)

где l- число корней характеристического уравнения, равных комплексному числу ; а, в – неизвестные коэффициенты.

Частный случай: если r=0, то в силу (50)

, (51)

где l- число корней характеристического уравнения, совпадающих с мнимым числом iw.

При отыскании частных решений уравнения (42) следует пользоваться следующим известным результатом: если правая часть ¦(x) уравнения (42) является суммой двух функций ¦1(x) и ¦2(x), то его частное решение можно представить в виде суммы , где - частные решения уравнений и соответственно.

Это утверждение справедливо для любого конечного числа слагаемых в правой части уравнения (42).

Примеры с решениями

Задача 10. Решить дифференциальное уравнение.

10.1. .

Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид: . Его характеристическое уравнение: . Используя (40), находим общее решение однородного уравнения . Теперь найдем частное решение v(x) заданного неоднородного линейного уравнения. Правая часть является квадратным трехчленом, то есть имеет вид (45). В общем виде квадратный трехчлен запишется так: . Так как число a=0 не является корнем характеристического уравнения, то и в соответствии с (46) имеем:

. (52)

Для отыскания значений а, в, с найдем v¢, v¢¢ и подставим в исходное уравнение. Оформим эту запись следующим образом:

,

,

. (53)

Равенство (53) является тождественным. Можно применить любой из следующих трех способов:

1) дать х три произвольных значения (по количеству неизвестных а, в, с);

2) приравнять слева и справа в тождестве (53) коэффициенты при одинаковых степенях (при x2, x1 и x0, то есть свободные члены);

3) скомбинировать предыдущие два способа.

В любом случае получим систему трех уравнений с тремя неизвестными. Применим второй из изложенных способов:

x2	,
x1	, , ,
x0	, , , .

Полученные значения подставим в (52): .