Последнее равенство является тождественным.
Приравнивая в нем слева и справа коэффициенты при одинаковых функциях, получим:
cos3x | –5a=5, a=-1, |
sin3x | –5в=10, в=-2. |
Итак, 
.
Ответ: .
3. Системы линейных дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему вида:
(54)
где a1, a2, в1, в2 – постоянные величины, x(t), y(t) – искомые функции. Решим эту систему методом подстановки. При условии, что a2¹0, из второго уравнения системы (54) выразим:
. (55)
Найдем производную:
. (56)
Выражения (55) и (56) подставим в первое уравнение системы (54) и получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
,
.
Решим последнее уравнение и найдем его общее решение
. (57)
Выражение (57) подставим в (55) и найдем x=F(t, C1, C2). Тогда общее решение системы (54) примет вид:
Примеры с решениями
Задача 11. Решить систему дифференциальных уравнений.
11.1.
Решение. Из второго уравнения системы находим 
.
Тогда 
.
Выражения 
подставим в первое уравнение системы:
, 
.
Получено линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Его характеристическое уравнение
.
Тогда 
.
Найдем:
,
.
Выражения для 
подставим в выражение для x и получим:
,
.
Таким образом,
Ответ:
11.2.
; 
.
Решение. Продифференцируем по переменной t первое уравнение:
.
Подставим в это уравнение выражения и из заданной системы:
,
. (58)
Из первого уравнения системы находим:
(59)
и подставим в уравнение (58):
,
. (60)
Общее решение уравнения (60) ищем в виде x=u+v,
где u – общее решение уравнения 
.
Характеристическое уравнение имеет вид: 
, 
.
Находим v – частное решение уравнения (60):
1 |
|
2 |
|
1 |
|
,
,
,
,
,
t1 | a = 5, | |
t0 | 2a + в = 1. | Þ |
, 
.Тогда 
,
. (61)
Найдем 
.
Выражения подставим в (59):
,
. (62)
Представления (61) и (62) объединим в систему и получим общее решение заданной системы:
(63)
Так как заданы начальные условия t=0, x=1, y=0, то нужно найти частные решения системы. На основании (63) получаем:
Þ С1=10, С2=6.
Частное решение системы:
Ответ:
Рекомендуемая литература
1. , Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1980.
2. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т2.-М.: Наука, 1972.
3. , , Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. - М.: Высшая школа, 1980.
4. Сборник задач по высшей математике. - М.: Высшая школа, 1983.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
