Методические указания к выполнению типового расчета по теме: «Дифференциальные уравнения» (стр. 8 )

Так как общее решение исходного уравнения имеет вид

, , ,

то .

Ответ: .

10.2. .

Решение. Общее решение этого уравнения ищем в виде , где u(x) – общее решение соответствующего однородного уравнения , v(x) – частное решение заданного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решим характеристическое уравнение: .

Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то на основании (39) получаем: .

Так как , то в соответствии с формулой (46) при n=2 многочлен второй степени , a=0, l=1 (число a=0 совпадает с одним из корней характеристического уравнения).

Поэтому .

Изложенным при решении примера 10.1 приемом найдем а, в, с.

0	,
1	,
1	,

,

,

x2	,
x1	,,
x0	, .

Таким образом,

и .

Ответ: .

10.3. .

Решение. Общее решение этого уравнения ищем в виде .

Характеристическое уравнение .

Согласно формуле (41) находим общее решение однородного уравнения: .

Правая часть имеет вид (47). В данном случае a=3.

Так как характеристическое уравнение не имеет корней, равных 3, то l=0.

Поэтому в соответствии с формулой (48) частное решение .

Находим a:

5	,
2	,
1	,

, .

Следовательно, .

Тогда общее решение:

.

Ответ: .

10.4. .

Решение. Для однородного уравнения решим характеристическое уравнение

, .

Применяя формулу (39), находим . Правая часть , следовательно, a=-1. Так как один из корней характеристического уравнения равен (-1), то l=1 и в соответствии с формулой (48) заменим частное решение . Найдем a.

-3	,
-1	,
2	,

.

Произведем сокращение на и приведем подобные.

.

Таким образом , , .

Ответ: .

10.5. .

Решение. Общее решение этого уравнения имеет вид: .

Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение

.

В силу (40) .

Далее, , a=-3. Так как два корня характеристического уравнения совпадают с a=-3, то l=2.

В соответствии с формулой (48) частное решение имеет вид: .

9	,
6	,
1	,

,

.

Следовательно, . Тогда .

Ответ: .

10.6. .

Решение. Решив характеристическое уравнение , ,

находим общее решение по формуле (41), полагая a=0, b=2: .

Правая часть заданного уравнения .

Так как в соответствии с (49) w=3, iw=3i и мнимое число 3i корнем характеристического уравнения не является, то l=0 и по формуле (51) .

Находим a, в:

4	,
0	,
1	,

,

.