Методические указания к выполнению типового расчета по теме: «Дифференциальные уравнения» (стр. 5 )

Составляем систему дифференциальных уравнений: .

Решаем первое уравнение системы: , , , , , , , .

Перейдем к решению второго уравнения системы:

, , .

Разделим переменные:

,

,

,

,

,

,

.

Используя найденные выражения функций и(х) и v(x), находим общее решение уравнения Бернулли:

или .

Полагая x=0, y=1, находим: , , , .

Искомое частное решение: .

Ответ: .

2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Основные понятия

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:

F(x, y, y', y¢¢)=0. (32)

Если уравнение (32) оказывается возможным разрешить относительно старшей производной, то его записывают в виде:

y¢¢=¦(x, y, y¢). (33)

Решением дифференциального уравнения называется такая функция y=j(x), которая, будучи подставленной в уравнение, превращает его в тождество. Для дифференциальных уравнений вида (33) имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть правая часть ¦(x, y, y¢) уравнения (33) является функцией, непрерывной вместе с частными производными по переменным y и y¢ в некоторой области, содержащей точку М0(x0,y0,y¢0). Тогда существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y(x0)=y0, y¢(x0)=y¢0.

Функцию y=j(x, С1, С2), зависящую от двух произвольных постоянных С1 и С2, называют общим решением дифференциального уравнения второго порядка, если:

1) она является решением уравнения при любых значениях постоянных С1 и С2 из некоторого множества значений;

2) при заданных начальных условиях y(x0)=y0, y¢(x0)=y¢0, постоянные С1, С2 можно определить из системы уравнений , так, что функция также будет решением исходного уравнения.

Общий интеграл, частное решение (интеграл), задача Коши определяются по аналогии с таковыми понятиями для дифференциальных уравнений первого порядка.

Уравнения вида y¢¢=¦(x)

Такие уравнения решают двукратным интегрированием:

,

,

.

Итак, общее решение ,

где , 1, 2 – произвольные постоянные величины.

Примеры с решениями

Задача 6. Решить дифференциальные уравнения.

6.1. .

Решение. Интегрируя по переменной x,

найдем

.

Итак, .

Снова интегрируя, получим, что

.

Окончательно .

Ответ: .

6.2. .

Решение. Аналогично решению предыдущего задания, получим:

.

Тогда искомое общее решение

.

Ответ: .

Уравнения вида F(x,y',y²)=0

Уравнение указанного вида не содержит явно искомой функции у(х). Порядок такого уравнения понижаем с помощью подстановки у¢=z. Тогда уравнение F(x, y', y²)=0 запишется в виде F (x, z, z')=0. Решая последнее уравнение, находим его общее решение F1(x, z, C1)=0. Так как z=у¢, то снова получаем дифференциальное уравнение F1(x, y¢, С1)=0 первого порядка, общий интеграл которого имеет вид F2(x, y, С1, С2)=0.

Примеры с решениями

Задача 7. Решить дифференциальные уравнения.

7.1. .

Решение. Задано уравнение второго порядка, в котором явно отсутствует y. Введем подстановку у¢=z. Тогда у¢¢=z¢ и исходное уравнение принимает вид: , . Получим уравнение с разделяющимися переменными. Рассмотрим два случая:

1) z=0 Þ y¢=0, y=С – решение исходного уравнения, которое не является общим решением, так как зависит только от одной произвольной постоянной;

2) z¹0. В уравнении разделим переменные:

.

Тогда ,

,

,

, .

Обозначим и тогда .

Так как z=у¢, то , , , .

Заметим, что решение y= получается из общего, если положить .

Ответ: .

7.2. .

Решение. Так как заданное уравнение в явном виде не содержит y, то положим у¢=z. Тогда у¢¢=z¢ и уравнение принимает вид:

. Это уравнение является линейным относительно функции z(x).