Программа учебной дисциплины ОПД. Р.04 Числовые системы в школьном курсе математики Направление подготовки 050200.62 Физико-математическое образование (стр. 5 )

19.  Длина периода десятичной дроби, в которую обращается обыкновенная несократимая дробь со знаменателем 21, равна 1) 4; 2) 3; 3) 6; 4) 7.

20.  Число цифр между запятой и периодом десятичной дроби, в которую обращается обыкновенная несократимая дробь со знаменателем 2352×11×19, равна

1) 2; 2) 3; 3) 4; 4) 5.

21.  Периодическая десятичная дробь 0,(363) записывается обыкновенной несократимой дробью _____ .

22.  Смешанная периодическая десятичная дробь 0,35(62) записывается обыкновенной несократимой дробью

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4. Система действительных чисел

1.  При определении системы действительных чисел по Кантору исходим из определения:

«Системой действительных чисел называется линейно и архимедовски упорядоченное поле, всякая ____ (вставьте нужное слово) последовательность элементов которого сходится в нем».

2.  Поле действительных чисел является расширением _______ рациональных чисел (вставьте нужное слово).

3.  Полнота системы действительных чисел означает, что …

1)  В поле действительных чисел существует корень любой натуральной степени из положительного действительного числа;

2)  Любая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится в поле действительных чисел;

3)  Любая последовательность поля действительных чисел имеет эквивалентную ей последовательность рациональных чисел.

4.  Всякое действительное число есть …

1)  предел последовательности рациональных чисел;

2)  частное двух рациональных чисел;

3)  десятичная дробь (конечная или бесконечная).

5.  Умножение действительных чисел обладает свойствами:

1)  ("a, bÎR) (a×b=b×a);

2)  ("a, b,cÎR) (a>b Þ a×c>b×c);

3)  ("a, b,cÎR ((a+b)+c=a+(b+c));

4)  ("a, b,c, dÎR) (b¹0 Ù d¹0 Þ ).

6.  Линейность порядка в системе á R, > ñ является следствием свойства:

1)  ("a, b,cÎR) (a>b Ù b>c Þ a>c);

2)  ("a, b,cÎR) (a>b Þ a+c>b+c);

3)  ("aÎR) Ø(a>a);

4)  ("a, bÎR) (a¹b Þ a>b Ú b>a).

7.  Линейно упорядоченное множество действительных чисел á R, > ñ:

1) дискретно; 2) плотно; 3) непрерывно.

8.  Множество действительных чисел R является:

1) счётным; 2) несчётным; 3) множеством мощности континуум.

5. Система комплексных чисел

1.  При определении системы комплексных чисел исходим из определения:

под системой комплексных чисел понимают минимальное поле, которое является расширением поля _____ (вставьте нужное слово) чисел и в котором есть элемент i

с условием i2 = –1.

2.  Для любого комплексного числа а:

1)  существует противоположное ему число –а;

2)  существует обратное ему число ;

3)  а2>0.

3.  Всякое комплексное число представимо в виде:

1) а+bi, aÎR, bÎR; 2) десятичной дроби; 3) bi, bÎR; 4) а–bi, aÎR, bÎR.

4.  Аксиома минимальности в списке аксиом системы комплексных чисел имеет вид:

1)  поле комплексных чисел алгебраически замкнуто;

2)  любая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится в поле комплексных чисел;

3)  любое подмножество М множества C совпадает с C, если оно удовлетворяет условиям: RÌМ; iÎM; ("a,bÎM) a+bÎM; ("a,bÎM) a×bÎM;

4)  любой многочлен положительной степени над полем комплексных чисел можно разложить в произведение многочленов первой степени с комплексными коэффициентами.

5.  Пусть «+» – сложение на C, «» – сложение на R. Какое из приведённых ниже утверждений говорит о том, что сложение наR является продолжением сложения на R.

1) ("a, bÎR) a+b=b+a; 2) ("a, bÎR) ab= a+b;

3) ("a, b,cÎR) (ab)c=a(bc); 4) ("a, bÎR) ($!cÎR) ab=c.

6.  Пусть «×» – умножение на C, «» – умножение на R. Какое из перечисленных ниже утверждений говорит о том, что умножение на R является ограничением умножения на C множеством R?

1)  ("a, bÎR) ($! cÎR) ab=c;

2)  ("a, b,cÎR) (ab) c=a (bc);

3)  ("a, bÎR) ab=a×b;

4)  ("a, bÎC) a×b=b×a.

7.  Можно ли упорядочить поле комплексных чисел?

1) да; 2) нет.

8.  Установите соответствие между числовыми множествами и их графической интерпретацией с помощью кругов Эйлера.

– C – Q – Z – N – R

Программа зачета

1.  Натуральный ряд; аксиомы Пеано. Принцип полной математической индукции.

2.  Сложение натуральных чисел. Аддитивная полугруппа натуральных чисел. Умножение натуральных чисел. Полукольцо натуральных чисел.

3.  Отношение «меньше» на множестве натуральных чисел. Линейно упорядоченное множество натуральных чисел; основные свойства линейно упорядоченного множества натуральных чисел. Вполне упорядоченное множество натуральных чисел.

4.  Архимедово и линейно упорядоченное полукольцо натуральных чисел; основные свойства упорядоченного полукольца натуральных чисел.

5.  Конечные и бесконечные множества. Основное свойство конечного множества. Бесконечность множества натуральных чисел.

6.  Независимость аксиомы индукции и ее роль в построении арифметики натуральных чисел.

7.  Определение системы целых чисел. Основные свойства целых чисел.

8.  Определение системы рациональных чисел. Основные свойства системы рациональных чисел. Представление рациональных чисел десятичными дробями.

9.  Различные определения системы действительных чисел (по Кантору, по Дедекинду, по Вейерштрассу).

10.  Свойства действительных чисел. Представление действительных чисел десятичными дробями.

11.  Определение системы комплексных чисел. Построение поля комплексных чисел.

12.  Основные свойства комплексных чисел; однозначность представления комплексного числа в алгебраической форме. Невозможность упорядочения поля комплексных чисел.