Методические указания по выполнению тестовых заданий по дисциплине «Математика» для раздела «Линейная алгебра» (стр. 3 )

Ответ: x = 5.

1.3. Обратная матрица

В данном разделе рассматриваются задачи существования обратной матрицы, нахождения обратной матрицы через алгебраические дополнения.

Задание №8. Определить, при каких значениях параметра  б  существует матрица, обратная данной матрице

A = .

Решение. Квадратная матрица имеет обратную, если ее определитель отличен от нуля. Имеем (по правилу треугольников):

= ()()() .

Полученное выражение отлично от нуля, а тогда матрица  A  имеет обратную, если

,  .

Задание №9. Найти матрицу  A-1 , обратную матрице

A = .

Решение.  Вначале вычислим определитель матрицы  A :

∆  =  = 6 + 35 = 41 .

Следовательно, обратная матрица  A-1  существует.

Будем искать  A-1  через алгебраические дополнения. Для определителя

алгебраические дополнения таковы:

A11 = (- 1)1+1∙a22  ;  A12 = (- 1)1+2∙a21  ;  A21 = (- 1)2+1∙a12  ;  A22 = (- 1)2+2∙a11 .

Записываем алгебраические дополнения для заданного определителя  ∆ :

A11 = 2;  A12 = - 5;  A21 = 7;  A22 = 3 .

Составляем союзную матрицу  A* :

A* = = .

Вычисляем обратную матрицу  A-1 :

A-1 = ∙ A* = ∙ .

Итак, 

A-1 = .

Делаем проверку:

A ∙ A-1 = ∙ = = E.

Задание №10. Найти матрицу  A-1  , обратную матрице

A =  .

Решение. Вначале вычисляем определитель матрицы  A :

∆ = = 3 - 2 + 2 = 3(12 – 3) – 2(4 – 5) + 2(3 – 15) = 3∙9 + 2 + 2∙(-12) = 5 .

Следовательно, обратная матрица  A-1  существует.

Находим алгебраические дополнения элементов определителя  ∆  :

A11 = = 9;  A12 = - = 1;  A13 = = - 12;

A21 = - = - 2;  A22 = = 2;  A23 = - = 1;

A31 = = - 4;  A32 = - = - 1;  A33 = = 7.

Составляем союзную матрицу  A* :

A* =  .

Вычисляем обратную матрицу  A-1 :

A-1 = ∙ A* = ∙ .

Итак,

A-1 = .

Задания для самоконтроля

Найти матрицу, обратную к матрице

A = .

Ответ: .

Найти матрицу, обратную к матрице

A =  .