Методические указания по выполнению тестовых заданий по дисциплине «Математика» для раздела «Линейная алгебра» (стр. 4 )

Ответ: .

1.4.Ранг матрицы

В данном разделе рассматривается задача нахождения ранга матрицы путем приведения ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк матрицы.

Задание №11. Вычислить ранг матрицы

A =  .

Решение. Проводим элементарные преобразования строк заданной матрицы так, чтобы привести матрицу  A  к ступенчатому виду:

         

      .

Запись вида (2) + 2(1) означает, что вторая строка матрицы складывалась с первой, умноженной на  2;

(3) – (1) – из третьей строки вычиталась первая строка;

~  - знак эквивалентных преобразований матрицы, при которых ее ранг не меняется.

Полученная ступенчатая матрица содержит две ненулевые строки, значит ее ранг равен 2. Следовательно, ранг заданной матрицы  A  также равен 2, т. е. r(A) = 2.

Задание №12. Укажите, при каких значениях параметра  б  ранг матрицы  A  равен 2, если

A = .

Решение. Матрица  A  имеет ступенчатый вид. В этой матрице одна строка должна быть нулевая, а две другие - отличны от нуля. Это возможно только в случае, когда  = 4.

Итак, r(A) = 2 при  = 4.

Задания для самоконтроля.

Привести матрицу  A  к ступенчатому виду, если

A =  .

Ответ: .

Привести матрицу  A  к ступенчатому виду, если

A =  .

Ответ: .

Найдите ранг матрицы  A  путем элементарных преобразований строк, если

A =  .

Ответ: 2.

Найдите ранг матрицы  A  путем элементарных преобразований строк, если

A =  .

Ответ: 3

2. Решение систем линейных алгебраических уравнений

В данном разделе рассматриваются задачи на решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, способом Гаусса. Рассматривается применение теоремы Кронекера-Капелли.

Формулы Крамера

Задание №13. Решить систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера.

Решение. Вычисляем определитель системы:

∆  =  = 20 – 21 = - 1 ≠ 0 .

Следовательно, система невырожденная. Имеем:

∆x  =  = 3 ,  ∆y  =  = - 7 .

По формулам Крамера:

x = =  = - 3 ,  y = =  = 7 .

Найденное решение проверяется путем подстановки в заданную систему:

5∙(- 3) + 3∙7 = 6 ,

7∙(- 3) + 4∙7 = 7 .

Итак, заданная система имеет единственное решение:  x  = 3,  y  = 7.

Решение систем с помощью обратной матрицы

Задание №14. Решить систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными с помощью обратной матрицы:

Решение. Запишем систему в матричном виде:  A∙X = B, где  A  - матрица системы, B  - столбец свободных членов,  X  - решение системы,

A = ,  B = ,  X = .

Имеем:

∆  =  = 24 – 35 = - 11 ≠ 0 .

Следовательно, обратная матрица  A-1 существует и решение заданной системы существует и единственно.

Находим алгебраические дополнения к элементам матрицы  A:

A11 = 3 , A12 = - 7 , A21 = - 5 , A22 = 8 .

Составляем союзную матрицу  A* :

A* = = .

Находим обратную матрицу  A-1 :

A-1 = ∙ A* = - ∙ = .

Решение системы  X  находим по формуле:

X  = A-1 ∙ B.

Тогда

∙ = .