=    -    +  ,

= ,

= .

Одно из частных решений системы получим, например, при  = 0  и  = 0:

=  ,  =  ,  = 0 ,  = 0. 

Частное решение проверяется путем подстановки в исходную систему уравнений.

Итак, заданная система неопределенна, имеет две главные и две свободные неизвестные.

Задание №17. Решить систему линейных уравнений:

Решение. Будем решать данную систему, применяя теорему Кронекера – Капелли. Для этого запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

         

    .

Полученной матрице соответствует система уравнений, эквивалентная заданной:

Далее исследуем и решаем эту систему. Ранг матрицы системы равен рангу матрицы

A = .

Здесь можно выбрать минор второго порядка вида

= 1 ≠ 0 .

Это означает, что  r(A)  = 2.

Ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы

= .

Выбираем минор вида

.

Следовательно,  r()  = 2.

Так как  r(A)  =  r() , то по теореме Кронекера – Капелли заданная система совместна. А так как при этом r(A) меньше числа неизвестных системы n = 3, т. е. r(A) 3, то заданная система неопределенна.

Количество главных неизвестных равно  r(A) = 2. Количество свободных неизвестных находим по формуле:  n - r(A) = 3 – 2 = 1.

Теперь будем искать решение системы. Вначале выберем главные неизвестные. Они связываются с базисным минором матрицы  A. Выберем минор

.

Его столбцы есть первый и второй столбцы матрицы  A  и соответствуют переменным    и    . Это будут главные неизвестные. Тогда    будет свободной неизвестной. Считаем, что  = , где    - произвольная постоянная.

Запишем систему в виде:

Решаем ее обратным ходом. Получим общее решение системы:

= -   - 8 ,

=  2 + 4 ,

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7