Взаимодействие видов транспорта при смешанных перевозках (стр. 2 )

  (12)

Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение равны:

  (13)

График плотности равномерного распределения представлен на рис.3

  Рис 3.

С другими типами распределений можно познакомиться в литературе по теории вероятностей, например, в  [1,4,5].

Коэффициент корреляции двух выборок

Пусть имеется две случайных величины X и Y. Корреляция двух случайных величин показывает степень их статистической взаимосвязи. Коэффициентом корреляции называют величину

  (14)

где уx, уy - среднеквадратические отклонения случайных величин, а ковариация cov(x, y)=M(XY)-M(X)M(Y). Коэффициент корреляции изменяется от -1 до +1.

2.2 Статистическая обработка данных - случайных величин

  В классической математической статистике предполагается известным вид плотности распределения f(x), и производится оценка значений ее параметров – математического ожидания и дисперсии по результатам наблюдений. Но обычно заранее вид распределения неизвестен, а теоретические предположения не позволяют его однозначно установить. В таком случае следует говорить только об аппроксимации (приближенном описании) реального закона распределения некоторым другим, который не противоречит полученным экспериментальным данным и в каком-то смысле похож на этот неизвестный истинный закон. В соответствии с этим положением постановка задачи аппроксимации закона распределения формулируется следующим образом. Имеется выборка наблюдений (x1, x2, …, xn) за случайной величиной X. Объем выборки n фиксирован. Необходимо подобрать закон распределения (вид и параметры), который, в статистическом смысле соответствовал имеющимся наблюдениям.

Задача аппроксимации на основе типовых распределений решается итерационно и включает выполнение трех основных шагов: предварительного выбора вида закона распределения; определения оценок параметров закона распределения; оценки согласованности закона распределения и экспериментальных данных.

Выбор вида закона распределения осуществляется посредством анализа гистограммы распределения, оценок моментных характеристик. По степени "похожести" гистограммы и графиков плотностей распределения типовых законов выбираются распределения

По реализациям случайных величин x1, x2,… xi, … xn определяют оценки моментов – математического ожидания и дисперсии, и  плотности распределения в виде таблицы значений.

Оценки математического ожидания, дисперсии  и среднеквадратического отклонения определяют по формулам:

    (15)

где n - объем выборки, число реализаций случайной величины.

Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

  (16)

Оценка плотности распределения методом гистограмм представляет частоту попадания в интервалы, которые задаются по оси аргумента:

  (17)

где нi  - число значений случайной величины, попавших в i-й промежуток.

Эта оценка очень зависит и от начального значения аргумента x, и от шага дискретизации Д. Рекомендуется выбирать шаг дискретизации по формуле [8]:

,  (18)

где Cг – константа, определяемая предварительными сведениями об оцениваемом законе распределения. Так, для нормального закона распределения  Cг =3,49, показательного закона Cг =2,29, закона Эрланга 2-го порядка Cг =2,03.

Значения оценок также являются случайными величинами. В теории математической статистики доказываются свойства оценок – несмещённость и состоятельность. Эти свойства гарантируют при бесконечном увеличении выборки объема выборки сходимость к их точным значениям. 

2.3 Модели пуассоновского и связанного с ним потоков

  При анализе систем массового обслуживания первое допущение делается о том, что входной поток событий представляет собой пуассоновский поток.

Если обозначить t1, t2 ,…,tk,… как  случайные моменты наступления событий, а интервалы времени между этими событиями Tk=tk-tk-1, и если случайная величина T имеет показательное распределение, то эти события представляют собой пуассоновский поток событий, а величина л – интенсивность этого потока, то есть среднее число событий, происходящих в единицу времени.

Простейший пуассоновский поток обладает тремя свойствами – стационарностью, ординарностью, отсутствием последействия.

Стационарность потока означает его однородность по времени, то есть независимость вероятностных характеристик от времени. Ординарность говорит о том, что все события происходят по одиночке. Отсутствие последействия в потоке означает, что события, образующие поток, появляются независимо друг от друга.

В теории массового обслуживания показано, что вероятность того, что за период времени ф произойдет точно k событий равна

,  (19)

где k!- факториал числа k, k!=1*2*…*k.

График плотности распределения показательного закона приведен на рис. 1 при m=1.

Поток Эрланга

Если простейший поток событий “просеить”, то есть взять из него только m-ое событие, то интервал времени T в таком потоке представляет собой сумму m независимых случайных величин (m-целое число)

,  (20)

каждая из которых распределена по показательному закону. И эта случайная величина распределена по закону Эрланга m-го порядка, имеет плотность распределения вида (см. формулу 8).

Параметры л для показательного закона и порядок k потока Эрланга оценивают по формулам из оценок математического ожидания и среднеквадратического отклонения:

  .  (21)

3. Вероятностные характеристики входных потоков воздушных судов и пассажиров в аэропортах

3.1  Классификация современных европейских аэропортов. Выбор аэропортов для анализа

Согласно рекомендациям Еврокомиссии европейские аэропорты подразделяют на 4 категории:

категория А:  крупные международные аэропорты с пропускной способностью свыше 10 млн. пассажиров в год;

категория В:  национальные аэропорты с объемом перевозок от 5 до 10 млн. пассажиров в год;

категория С:  большие региональные аэропорты  от 1 до 5 млн. пассажиров в год;

категория Д:  небольшие  региональные аэропорты – до 1 млн пассажиров в год.

В Германии, например, около 50 аэропортов, и наиболее крупные сведены в таблицу 1.

Таблица 1.

Категория	Аэропорт	Количество прилетевших и улетевших пассажиров за 2006 год,  млн. чел.
А	Frankfurt	52,8
Munchen	30,8
Dusseldorf	16,6
Hamburg	12,0
Berlin –Tegel	11,8
В	Stuttgart	10,1
Koln/Bonn	9,9
Berlin-Schonefeld	6,1
Hannover	5,7
C	Nurnberg	4,0
Hahn	3,7
Leipzig/Halle	2,3
Dortmund	2,0
Dresden	1,8
Bremen	1,7

Аэропорты категории А, кроме Hub-аэропортов, представляют наибольший интерес. В этих аэропортах большой объем выполняемых авиарейсов. Применение статистических методов для анализа данных обосновано тем, что получаемые выборки репрезентативны.

В Hub-аэропортах значительная доля пассажиров убывает другими авиарейсами, и у этих транзитных пассажиров нет потребности в городском наземном транспорте. Из названных (табл. 1) таким Hub - аэропортом является аэропорт Frankfurt.

Города Hamburg, Dusseldorf,  Munchen, Stuttgart, которые мы выделяем для анализа, являются крупными  региональными центрами, имеют скоростные железнодорожные сообщения c другими городами регионов. Как правило, конечным пунктом поездки из аэропорта наземным транспортом в город является железнодорожный вокзал.  Для пассажиров, прибывающих авиарейсами в аэропорты этих городов, задержки в отъезде из аэропортов могут привести к опозданиям на заранее запланированные  железнодорожные переезды. 

Достоверность исходных данных для анализа основана на том, что данные о прилете самолетов (время прилета и тип воздушного судна) берутся с online-табло аэропортов, которые в настоящее время доступны через Интернет. А также через Интернет доступны следующие сведения:

- типы и пассажировместимость  воздушных судов;

- данные о расписаниях и типах автобусов и электричек;

- статистические годовые отчеты аэропортов, в которых приводятся данные о количестве выполненных рейсов и числе перевезенных пассажиров, как по  внутренним, так и по международном сообщениям.

3.2 Исходные данные о входных потоках воздушных судов и пассажиропотоках

  Перечень Интернет-страниц международных европейских аэропортов приведен в Приложении 1, в которых, в том числе, дается таблица фактического времени прилета самолетов. Обычно Интернет - страницы используют национальный и английский язык, например, это главная страница аэропорта Вены на английском языке (рис.4).