Образовательная программа элективного курса «Последовательность. Прогрессии» (стр. 2 )

Сборник нормативных документов. Математика / сост. , .- М.: Дрофа,2007. Маркова подход в обучении математике в условиях предпрофильной подготовки и профильного обучения [ Текст ] / .- Киров: КИПК и ПРО, 2006. Мордкович и начала анализа: Учеб. пособие для подготовительных отделений вузов. – М.: Высшая школа, 1979.   Множества. Функции. Последовательности. / .- 1-е изд.- СПб.: ЧеРо-на-Неве, 2004. Ткачук – абитуриенту.  Том 1. – М.: ТЕИС, 1994. Шарыгин задач: Учебное пособие для 10 кл. общеобразовательных учреждений.- М.: Просвещение, 1994. Сборник задач по математике с решениями / . – М.: Издательский дом ОНИКС: Альянс-В, 1999. и др. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре в 9 кл. / . – М.: Дрофа, 2006. Алгебра: сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл. /  [ , , и др. ]. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2007. и др. ЕГЭ [ Текст ] / . – М.: Дрофа, 2008 Мордкович – 9 [ Текст ] : учебник / . – М.: Школа-Пресс, 1995. Мордкович -практикум по алгебре [ Текст ] : учебник / , .  – М.: Школа-Пресс, 1995. Материалы для подготовки учащихся средней школы к ЕГЭ.

Содержание учебного материала

I. Последовательность

Цель: ввести понятие числовой последовательности; рассмотреть последовательности, заданные с помощью формулы n-го члена и словесно; рассмотреть последовательности, заданные рекуррентной формулой; формировать умение задавать последовательности различными способами. 

I.1.Понятие последовательности

Определение. Последовательностью называется функция натурального аргумента, то есть функция, область определения которой является подмножеством множества всех натуральных чисел.

Можно дать и другое определение.

Определение. Последовательностью называется занумерованный ряд чисел. Естественно. Два данных определения равнозначны, или равносильны.

Рассмотрим примеры последовательностей.

1; 4; 5; 7; 9; 10; 20;…  6. … ; ; …; ;…  7. 1; 3; 7; 13; 19; 29; …  –n; ; …  8. … ; -; ; -; ; -;…  9. ... 22; 32; 42; 52; … ; n2  10.

Если нам удастся угадать, или мы знаем закон, по которому образуются члены этой последовательности, то можно написать функциональную зависимость аналитически (если это возможно вообще).

Практикум

Проверьте аналитическую форму n-го члена последовательности для  приведенных выше последовательностей:

2) an = , где  n € N;

3) ak = ; где k € N,  n € N,  n - постоянная;

4) an = (-1) n+1 · , где n € N.

Попробуйте сами угадать и проверьте предлагаемую закономерность для последовательностей: 22; 32; 42; 52; … ; n2  ; …;

8)  …;

  10) …  Ответ: 

  5) an = (n + 1)2 ; где  n € N;  6) an = ; где  n € N;  8) an = ; где  n € N;

10) an = (-1) n+1 · ; где  n € N.

I.2.Способы задания последовательности

1. Аналитический способ задания – это задание формулой n-го члена.  Имея аналитическое выражение для an, можно найти любой член последовательности.  Пример.

an= 3n2 – 4n,  то  a1 = 3 · 12 – 4 · 1 = - 1,  a2 = 3 · 22 – 4 · 2 = 4;  a3 =3 · 32 – 4 · 3 = 15,… .  Таким образом, получаем следующую последовательность:-1; 4; 15; …  Иногда n-ый член последовательности задается несколькими выражениями, например:  an =

Тем самым получилась последовательность  2; 2; 6; 4; 10; 6; … .Очевидно, что такую последовательность нельзя задать одним аналитическим выражением.

2.Табличный способ задания. Он применяется при исследованиях  зависимости каких-то параметров от температуры, давления, массы и т. д., в неизвестных еще явлениях или процессах. Приходится экспериментально выявлять эти закономерности. Для этого составляются таблицы данного эксперимента. Например, зависимость линейных размеров неизвестного сплава от температуры нагрева, если при t0 = 0 длину бруска принимаем за единицу.

Пример.

№ эксперимента	1	2	3	4	5	6	7	8
Значения температуры, t,  0С	2	5	8	11	14	17	20	23
Изменение длины бруска данного сплава, L, %	0,1	0,4	0,5	0,7	0,7	1,1	1,5	2

3. Графический способ. Он очень удобен для представления результатов  экспериментов в виде графиков и диаграмм. (Это очень наглядно).

Пример. Вступительные экзамены сдавали 3000 абитуриентов. Допустим, что максимально возможное число набранных баллов – 30. Поступило 1800 человек. Интересно, как распределилось число абитуриентов в зависимости от количества набранных ими баллов?

Из диаграммы видно, что наибольшее количество поступивших набрало 20 баллов, и только немногие – 30 баллов (проходной балл был 17 баллов), значительная часть – больше 17 баллов и очень мало – 5-10 баллов и т. д. Для данной задачи можно было составить и диаграммы по набранным баллам, по предметам, по возрасту, полу и т. д.

4. Рассмотрим ряд чисел 3; 7; 13; 19; 29; …  Попытка записать закон аналитически в виде формулы обречена на провал. Но при внимательном рассмотрении ряда чисел модно догадаться, что даны простые числа через одно. Это – словесный или описательный способ задания последовательности.  Пример. Рассмотрим ряд чисел 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; … Для такой последовательности также невозможно записать закон аналитически в виде формулы. Словесно же можно описать данный ряд чисел следующим образом: это десятичные приближения по недостатку для иррационального числа √2.

5. Рассмотрим еще один способ задания последовательности, который называется рекуррентным (по-итальянски – «возвращаясь назад»). Этот способ считается наиболее важным для приложений. Способ состоит  в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-ый член последовательности, если известны ее предыдущие члены. При вычислении членов последовательности по этому правилу мы как бы все время возвращаемся назад, смотрим, чему равны предыдущие члены.

Обычно для рекуррентно заданных последовательностей указывается формула, позволяющая выразить n-ый член последовательности через ее предыдущие члены.

Знание рекуррентного соотношения (т. е. соотношения, выражающего n-ый член последовательности через предыдущие) еще не определяет последовательность полностью. Дело в том, что начальные члены последовательности нельзя вычислить по рекуррентному соотношению. Поэтому несколько первых членов могут быть заданы произвольно.

Пример 1. Пусть а1 = 1 и а2 = 3 называются начальными условиями,  аn+2 = 2an + an+1  -  рекуррентное соотношение. Найдите первые шесть членов последовательности.

а3 = 2a1 + a2 = 2 · 1 + 3 = 5;

а4 = 2a2 + a3  = 2 · 3 + 5 = 11;

а5 = 2a3 + a4 = 2 · 5 + 11 = 21;

а6 = 2a4 + a5 = 2 · 11+ 21 = 43 и т. д.

Очевидно, чтобы вычислить а10 , необходимо знать все предыдущие члены последовательности, что в ряде случаев неудобно. Зато характер взаимоотношений с рядом стоящими членами – понятен.