Образовательная программа элективного курса «Последовательность. Прогрессии» (стр. 5 )

Получим  Sn – Snq = b1 – b1qn.  Группируя, получим  Sn (1 – q) = b1 (1– qn) .  а)  q ≠ 1;    б)  при  q = 1  b1 = b2 = … = bn-1  =  bn,  тогда  Sn = n b1 .  Иногда полезно, зная, что  bn  = b1· qn-1  и  ,  пользоваться другой формулой:  . 

Пример 1.  Геометрическая прогрессия задана формулой bn  = 3· 2n.  Найти сумму пяти первых членов этой прогрессии.

Так как  bn  = 3· 2n, то bn-1  = 3· 2n-1 . Тогда    и  b1 = 3· 21 = 6 .

Подставим в формулу   

Пример 2.  Найти сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, у которой сумма второго и шестого  членов прогрессии равна 34, а сумма третьего и седьмого членов прогрессии равна 68. 

Так как  b2  = b1· q,  b6  = b1· q5 ,  b3  = b1· q2 ,  b7  = b1· q6  , то, используя условия, приходим к системе уравнений:

  или  . 

Переписав второе уравнение системы в виде  q· b1 q (1+ q4)  = 68  и воспользовавшись тем, что  b1· q (1 + q4)  = 34  (из первого уравнения системы), получим q· 34 = 68, т. е. q = 2 .

Подставив значение q = 2  в первое уравнение системы, получим  b1· 2(1 + 24)  = 34 , откуда  b1 = 1.  Следовательно,

S10 = . 

Практикум

1.  В геометрической прогрессии восьмой член равен 13, а знаменатель  равен – 3. Найдите ее десятый член и сумму десяти членов.

2.  Между числами 1 и 16 вставьте такие три числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.

3.  Сумма первого и пятого членов геометрической прогрессии равна 17, сумма второго и шестого членов равна 34, а сумма n первых членов этой прогрессии равна 31. Найти первый член, знаменатель этой прогрессии, а также номер n.

4.  Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 30. Если из второго члена этой прогрессии вычесть 2, а остальные числа оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

5.  Первый член геометрической прогрессии равен 54, сумма трех первых членов этой прогрессии равна 78. Чему равна сумма пяти первых членов этой прогрессии?

Ответ:

  1.  b10 = 117 ,  S10 = . 

2.  Числа 2; 4; 8. 

3.  n = 5,  b1 = 1,  q = 2. 

4.  Числа  4; 10; 16  или  16; 10; 4. 

5.  S5 = 120  или  S5 = 80.

II.7.Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Рассмотрим следующие последовательности:

…  и  .

Очевидно, что эти последовательности являются геометрическими прогрессиями, причем q1 = ,  а  q2 = , т. е. lql < 1.

Геометрическая прогрессия (bn), знаменатель q которой удовлетворяет неравенству  lql < 1,  называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:  S = .

Пример 1. Найти сумму геометрической прогрессии  15;  6;  … 

Так как  b1 = 15;  b2=6, то  q = , т. е.  lql < 1, значит, данная прогрессия является бесконечно убывающей.

Воспользовавшись формулой  S = , находим:

S =  = 25.

Пример 2.  Обратить в обыкновенную дробь  0,(3).

Преобразуем:

0,(3) = 0,33333… = 0 + …  , т. е. имеем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

По условию b1 =  ;  q = .  Тогда  S =    =   . 

Значит, 0,(3) = .

Пример 3.  Сумма геометрической прогрессии, у которой lql < 1, равна 9, а сумма квадратов ее членов равна 40,5. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Обозначим через b1 и  q соответственно первый член и знаменатель искомой прогрессии. Используя формулу суммы геометрической прогрессии, получим

.

Рассмотрим последовательность  b21;  b22;  b23; … ; b2n; …  . Имеем b2  = b1q, т. е  b22  = b21· q2 ;  b3  = b2· q; т. е.  b23  = b22· q2 ;  b4  = b3· q, т. е. b24  = b23· q2 и т. д. Замечаем, что каждый член последовательности (b2n) получается из предыдущего умножением на q2. Из условия lql < 1 следует, что q2 < 1.

Тогда сумму прогрессии (b2n) можно вычислить по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, т. е. по формуле

S = , а по условию эта сумма равна 40,5.

Таким образом, задача сводится к решению системы уравнений    , 

из которой находим b1 =  6 ;  q = .

Практикум

1.  Вычислите:  1 +   + … . 

2.  Решить уравнение:  2 + х + х2 + х3 + … + хn + … = 3  , где lхl < 1.  3.  Вычислите сумму ряда: 

  S = … + (-1)n+1· + …

4.  (bn) – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Известно, что  b1 + b2 + b3 + … + bn + … = 56  и  b21 + b22 + b23 + … + b2n + … = 448.  Найти b1  и  q.

5.  Решить уравнение, полагая, что левая часть – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:        

х2 + 3х3 + 9х4 + 27х5 + … = 1 – 3х

Ответ: 

  1.  S = 2.

2.  х = .

3.  S = 1,75.

4.  b1 = 14;  q = .

5.  х = ;  х = .

III. Решение задач повышенной сложности

Цель: рассмотреть решение заданий повышенной сложности; формировать умения и навыки решения задач повышенной сложности.

Пример 1. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 56, а сумма следующих трех ее членов равна 7. Определить седьмой член прогрессии. (Ответ: )

  Решение. Составляем систему уравнений:

  Преобразуем:    откуда  получаем:

q3 = ;  q = ;  b1 = 32 ;  b7 =  b1 · q6 = . 

Пример 2.  Арифметическая прогрессия обладает следующим свойством: при любом n сумма ее n первых членов равна 5n2. Найти разность этой прогрессии и три ее первых члена.

Решение. Используя формулу  Sn =  и условие задачи, получаем равенство = 5n2 , или  2a1 – d = (10 – d )n.  Так как в этом равенстве может изменяться только n, то  d = 10.  При d=10 находим a1=5.  Следовательно, три первых члена этой прогрессии таковы: 5; 15; 25.