Образовательная программа элективного курса «Последовательность. Прогрессии» (стр. 6 )

Пример 3. Сумма трех чисел, образующих возрастающую арифметическую  прогрессию, равна 21. Если к первому числу прибавить 1, из второго вычесть 1, а третье не изменять, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии.

Решение. Обозначим: a – первый член арифметической прогрессии,  d – разность прогрессии, d > 0.

По условию:

а +  (a + d) + (a + 2d) = 21, 

(q  - знаменатель геометрической прогрессии). 

Решая систему, получим:  d = 7 – a,  a1,2 = 6,5 ± 4,5 .

а = 2, d = 5  - искомая прогрессия, так как  d > 0. а = 11, d = - 4  -  постороннее решение, так как  d < 0.

Подставим в формулу суммы n членов арифметической прогрессии,  а = 2,  d = 5 , получим  S = (2a + 9d)· 5 = 245.

Пример 4. Известно, что а1, а2, … - арифметическая прогрессия, и а3 + а9 = 8.  Найти  а1 + а2 + … +  а11 .

Решение. Имеем, что a3 = a1 + 2d,  a9 = a1 + 8d,  a11 = a1 + 10d, где  d – разность прогрессии. Мы знаем, что  a1 + 2d + a1 + 8d  =  2a1 + 10d = 8. Требуется найти величину  =.  Ясно, что для этого нужно подставить в последнюю формулу значение известного нам числителя.  Получим:  44.

Пример 5.  Найти сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 7.

Решение.  Первое трехзначное число, которое делится на 7, есть 105  (т. к. ближайшее меньшее его и делящееся на 7, есть 98). Последнее такое число – это 994. Ясно, что такие числа образуют прогрессию со знаменателем 7.  Пусть число членов этой прогрессии равно n. Тогда  105 + (n – 1) · 7 = 994, откуда n = 128. 

Значит, искомая сумма равна  = 70336. 

Практикум

1. Найти три числа, образующие арифметическую прогрессию, если  произведение двух меньших чисел равно 65, а произведение двух больших равно 135.  (Ответ:  6,5; 10; 13,5)

2. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 15. Если ко второму из них прибавить 1, к третьему 5, а первое оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.

(Ответ: 3; 5; 7 или 12; 5; -2)

3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма  первых пяти ее членов равна 31. Найти первый член прогрессии. (Ответ: 16)

Найти сумму шести первых членов арифметической прогрессии, у которой сумма любого числа членов равна учетверенному квадрату этого числа.  (Ответ: 144) В соревнованиях по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах – одно штрафное очко, а за каждый последующий – на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков? (Ответ: 21) Найти число членов арифметической прогрессии, у которой сумма всех членов равна 112, произведение второго члена на разность прогрессии равно 30, а сумма третьего и пятого членов равна 32. Написать три первых члена этой прогрессии. (Ответ: 7 членов; 1; 6; 11 или 7; 10; 13) Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой сумма крайних членов равна – 49, а сумма средних членов равна 14.  (Ответ: 7; - 14; 28; - 56) Решить уравнения:  а)  2х + 1 + х2 – х3 + х4 – х5 + … = , где lхl < 1 ;  б)  + х + х2 + … + хn + … = , где lхl < 1;  в)  1 + 2х  + 4х2 + … + (2х)n + … = 3,4 – 1,2х, где lхl < 0,5. 

  (Ответ: а)  х1 = , х2 = ;  б)  х1 = , х2 = ;  в)  х = )

Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем lql < 1  равна 16, а сумма квадратов членов этой же прогрессии равна 153,6. Найти четвертый член и знаменатель прогрессии.  (Ответ: и ) Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна . Найти эти числа.  (Ответ: ; ; 1) Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем lql < 1 равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найти первый член и знаменатель прогрессии.  (Ответ: 6 и – 0,5) Найти третий член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем  lql < 1, сумма которой равна 1,6, а второй член равен – 0,5. (Ответ: ) Вычислить:  (1 + 32 + 52 + … + (2n – 1)2 + … + 1992) – (22 + 42 + 62 + … + (2n)2 + … + 2002).  (Ответ: - 20100)

14. Известно, что а1, а2, а3, а4 – геометрическая прогрессия, а1 > 0, причем  а1 +  а4 = - 49, а2 + а3 = 14. Найти а1, а2, а3, а4.  (Ответ: 7; -14; 28; -56)

15. Известно, что а1, … , а15 - арифметическая прогрессия, и а1 + а5 + а15 = 3.  Найти  а5 + а9.  (Ответ: 2)

16. Известно, что  а1 , … , а20  -  арифметическая прогрессия, и

а3 + а7 + а14 + а18= 10.  Найти  а5 + а9 + а20.  ( Ответ: 50)

17. У отца было пять сыновей, которые рождались с интервалом в 3 года. В первый раз в 5 лет каждый в подарок получал 5 книг и каждый последующий год на одну книгу больше. Сколько было каждому из сыновей лет, когда общее число книг, подаренных им, составило 325 книг?  (Ответ: 5; 8; 11; 14; 17 лет)

IY. Задачи для подготовки выпускников 9 классов к сдаче государственной (итоговой) аттестации в новой форме

Цель: рассмотреть комбинированные задачи арифметической и геометрической прогрессий; развивать навыки решения задач по теме «Прогрессии»; развивать умения и навыки применения изученных формул по данной теме.

Пример 1 (демонстрационный вариант-2008). Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена  an = 5n + 1. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по пятьдесят пятый включительно.

Решение. Обозначим искомую сумму через S, тогда  S = S55 – S14 . Найдем  S55 и S14 . Имеем:  a1  = 6,  a14 = 5·14 + 1= 71,  a55 = 5 ·55 + 1 = 276.

 

Таким образом,  S = 7755 – 539 = 7216.

Другое возможное решение.  Найдем сумму членов арифметической прогрессии, первый член которой равен а15 , а последний равен  a55 . Имеем:

a15 = 76, a55 = 276, n = 55 – 14; тогда

Пример 2.  Найдите сумму всех четных трехзначных чисел, кратных 3, но не кратных 5.

Решение.1) Вычислим сумму всех четных трехзначных чисел, кратных 3.

Первое четное трехзначное число, кратное 3, это число 102, второе 108, третье 114 и т. д. Имеем арифметическую прогрессию 102; 108; 114; … ; 996.

Найдем число членов этой прогрессии, используя формулу аn = a1 +(n -1)d. 

d = a2 – a1  = 108 – 102 = 6. Получим: 996 =102 +(n -1)6, откуда n =150.  По формуле  Sn = · n  находим сумму  всех четных трехзначных чисел, кратных 3:  S150 = · 150 = 82350.

2) Вычислим сумму всех четных трехзначных чисел, кратных 30. Первое четное трехзначное число, кратное 30 – это 120, второе 150, третье 180 и т. д. Имеем арифметическую прогрессию 120; 150; 180; …; 990.

Найдем число членов этой прогрессии, используя формулу аn = a1 +(n -1)d. 

d = a2 – a1  = 150 – 120 = 30. Получим: 990 =120 +(n -1)30, откуда n =30.  По формуле  Sn = · n  находим сумму  всех четных трехзначных чисел, кратных 30:  S30  = · 30 = 16650.

3) Исключим из суммы всех четных трехзначных чисел, кратных 3, сумму всех четных трехзначных чисел, кратных 30.

Получим:  82350 – 316650 = 65700.

Пример 3.  Решить уравнение:

Решение:  Очевидно, что в левой части арифметическая прогрессия, в которой а1 = ,  аn  = , d = .