Образовательная программа элективного курса «Последовательность. Прогрессии» (стр. 7 )

Найдем  n = , т. е.  n =

По формуле  Sn = · n  находим сумму слагаемых в левой части:

Sn =   Подставим в уравнение:

Решая уравнение, получим х1 = 19, х2 = - 1. Но х2 = - 1  не удовлетворяет условию задачи, т. к. – 1 < 0. Значит, х = 19 .

Практикум

Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии на 32 меньше суммы следующих четырех ее членов. На сколько сумма первых десяти членов этой прогрессии меньше суммы следующих десяти ее членов? (Ответ: 200) Найдите сумму первых 20 совпадающих членов двух арифметических прогрессий:  3; 8; 13; …  и  4; 11; 18; …  . (Ответ: 7010)

3.  Решите уравнение:   (Ответ: х = 15)

4.  Найдите сумму всех четных трехзначных чисел, кратных 5, но не кратных 3. (Ответ: 32400)

5.  Сколько существует натуральных трехзначных чисел, которые делятся только на одно из чисел 4 или 5 ?  (Ответ: 315)

6.  Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 200, которые при делении на 5 дают в остатке 3.  (Ответ: 4020)

7.  В арифметической прогрессии среднее арифметическое первых десяти ее членов равно 20. Найдите первый член и разность этой прогрессии, если известно, что они являются числами натуральными.  (Ответ: а1 = 11 , d = 2  или

а1 = 2, d = 4)

8.  Сумма первого и пятого членов геометрической прогрессии равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 3069 ?  (Ответ: 10)

9.  Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если среднее из них удвоить, то получится арифметическая прогрессия. Чему равен знаменатель q этой прогрессии, если известно, что lql < 1 ?  (Ответ: q = 2 - √3 )

10.  Три различных числа a, b, c  образуют геометрическую прогрессию, а числа  a + b, b + c, a + c  образуют арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.  (Ответ: q= - 2 )

11.  Последовательность (а1) –арифметическая прогрессия. Известно, что а5+  а9 = 40.  Найдите  а3 + а7 + а11. (Ответ:  60) 

Y. Задачи ЕГЭ

Цель: рассмотреть задания по теме «Прогрессии», предлагаемые на ЕГЭ по математике; систематизировать знания и умения обучающихся по данной теме; развивать умения и навыки учащихся применять полученные знания в нестандартных ситуациях, а также умения распознавать в данной задаче задачу на прогрессию.

Пример 1. Седьмой член арифметической прогрессии равен 19, а сумма первых  девятнадцати членов  равна 475. Найдите сумму пятого, двенадцатого ли двадцатого членов этой прогрессии.

Решение. Почти любую задачу на арифметическую и геометрическую прогрессии можно решить, если записать условие задачи, используя в качестве неизвестных первый член прогрессии а1 и разность (соответственно, знаменатель) прогрессии, то есть для решения задачи фактически требуется знание формул n-го члена арифметической прогрессии и суммы первых n ее членов:

an = a1 + (n - 1)d  и  Sn =  = , 

и формул n-го члена геометрической прогрессии и суммы первых n ее членов:

bn = b1qn-1 ,  q ≠ 0  и  Sn = , где  q ≠ 0,  q ≠ 1.

Прочитаем условие нашей задачи. Из него имеем

a7 = a1 + 6d = 19  S19 =  = 475.

Составим систему уравнений:.

Решая систему любым удобным способом, получим:  a1 = 7 и  d = 2.

Искомая сумма:

а5 + a12 +  a20 =  3a1 + (4+11+19) · d = 3· 7 + 34 · 2 = 89.

Пример 2. Разность арифметической прогрессии является отрицательным числом. Найдите сумму семи  первых членов этой прогрессии, если сумма третьего и седьмого членов равна 18, а их произведение равно 45.

Решение. Из условия задачи следует, что d<0, S7 = = ?,  a3+ a7=18,  a3·a7=45. 

Если считать a3  и a7  корнями квадратного уравнения, то их сумма равна 18, а их произведение равно 45. По теореме, обратной теореме Виета, находим  a3  = 3 и a7  = 15 или наоборот  a3  = 15 и  a7  = 3.

Первая пара соответствует положительному значению разности  d, а вторая – отрицательному. Значит, пара  a3  = 3 и a7  = 15 не подходит, а пара  a3  = 15 и  a7  = 3 удовлетворяет всем условиям задачи. 

Тогда имеем систему уравнений 

Решая систему любым удобным способом, получим:  a1 = 21  и  d = - 3.

Теперь можно найти требуемую сумму первых семи членов прогрессии. Получаем:

  S7 = = (a1 + 3d) · 7 = (21 - 9) · 7 = 84.

Пример 3. Найдите сумму последних десяти членов арифметической прогрессии, у которой сумма первого и последнего членов равна нулю, первый член равен (-100), и разность прогрессии d = 4.

Решение. Из условия задачи понятно, что нужно применять формулы арифметической прогрессии. Необходимо выразить все данные задачи через первый член и разность арифметической прогрессии.

Из условия имеем, что a1 = - 100, d = 4. Тогда 

a1 + an = a1 + a1 + (n - 1)d = 0  или  -200 + 4(n - 1) = 0.

Отсюда  n = 51. Требуется найти сумму последних десяти членов прогрессии. Найдем последний член прогрессии: an = a1 + (n - 1)d, тогда  a51 = -  a1 = 100. Десятый член прогрессии, если считать в обратном порядке, начиная с 

a51 = 100, есть  a42 = a1 + 4(42 - 1) = -100 + 4·41 = 64.

Поэтому сумму десяти последних членов данной прогрессии можно найти по формуле 

  S  =  , откуда  S  =  820.

Пример 4. Первоначальная цена товара на торгах повышалась несколько раз на одно и то же количество рублей. После третьего повышения цена равнялась 1200 рублям, а после двенадцатого повышения – 1650 рублям. Через сколько повышений первоначальная цена товара удвоилась?

Решение. В условии задачи ничего не говорится ни об арифметической, ни о геометрической прогрессиях. Поэтому решение можно строить так.

Пусть х – первоначальная (стартовая) цена товара на торгах. После первого повышения цена стала х + а рублей, после второго х + 2а  рублей, а после третьего повышения цена стала равной  х + 3а рублям, что по условию равно 1200 рублям, то есть  х + 3а = 1200.

После двенадцатого повышения цена стала равной х + 12а = 1650.

Отсюда а = 50, х = 1050 ( рублей). Теперь пусть число повышений равно  n. Составим равенство 1050 + 50n = 2100, отсюда n = 21. Следовательно, цена товара удвоится через 21 повышение первоначальной цены.

Ответ: 21. 

Практикум 

В арифметической прогрессии сумма третьего и пятого членов равна – 14, а сумма первых  девяти членов равна – 45. Сколько отрицательных членов имеет эта прогрессия?  (Ответ: 7) В арифметической прогрессии разность тридцать первого и десятого членов составляет 42, а сумма первых пятнадцати членов равна  - 150. С какого номера начинаются положительные члены этой прогрессии?  (Ответ: 14) Сумма пятнадцати первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна нулю, а произведение третьего и седьмого членов равна 20. С какого номера все члены данной прогрессии будут больше 15 ?  (Ответ: 16) Произведение второго и четвертого членов геометрической прогрессии равно 81, а сумма трех ее первых членов равна 13. С какого номера все члены этой прогрессии будут больше 729 ?  (Ответ: 8) Произведение первого и третьего членов геометрической прогрессии  равно , а произведение второго и пятого членов равно . Известно, что сумма первых n членов прогрессии равна  . Найдите n.  (Ответ: 7) Третий член арифметической прогрессии равен 25, а десятый равен 4. Найдите сумму первых шестнадцати членов данной прогрессии.  (Ответ: 136) Третий член арифметической прогрессии равен – 6, сумма второго и пятого членов равна – 9. Известно, что один из членов прогрессии равен 15. Найдите его номер.  (Ответ: 10) Второй член арифметической прогрессии равен – 7, разность пятого и восьмого членов равна – 6. Известно, что один из членов прогрессии равен 9. Найдите его номер.  (Ответ: 10) В арифметической прогрессии сумма первых семи членов равна 21, а разность пятого и третьего членов равна – 6.Найти, на каком месте в этой прогрессии стоит число – 21. (Ответ: 12) В арифметической прогрессии произведение второго и пятого членов равно 45, а сумма первых пяти членов равна 35. найдите разность прогрессии, если известно, что она положительная.  (Ответ: 4) Сумма пяти первых членов арифметической прогрессии меньше суммы ее последующих пяти членов на 50. На сколько десятый член  прогрессии больше ее второго члена?  (Ответ: 16) Сумма шести первых членов арифметической прогрессии меньше суммы ее последующих шести членов на 144. На сколько двадцать пятый член прогрессии больше пятнадцатого члена?  (Ответ: 40) В арифметической прогрессии восемнадцать членов. Сумма членов, стоящих на четных местах, равна 27, а сумма членов, стоящих на нечетных местах, равна 20. Найдите наибольший целый член данной прогрессии.  (Ответ: 3) Десятый член арифметической прогрессии равен – 29, а сумма первых одиннадцати членов равна – 187. Найдите сумму девятого, одиннадцатого и восемнадцатого членов этой прогрессии.  (Ответ: - 111) В течение календарного года зарплата каждый месяц повышалась на одно и то же число рублей. За июнь, июль и август зарплата в сумме составила 9900  рублей, а за сентябрь, октябрь и ноябрь – 10350 рублей. Найдите сумму зарплат за весь год.  (Ответ: 39300) За 10 дней Карл украл у Клары 165 кораллов и из них 147 – в первые семь дней. Каждый день он крал  на одно и то же число кораллов меньше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов Карл украл в десятый день?  (Ответ: 3) При подготовке к экзамену ученик каждый день увеличивал количество решенных задач на одно и то же число. С 3 мая по 6 мая включительно он решил 24 задачи, а с 5 мая по 10 мая – 72 задачи. Сколько задач ученик решил с 3 мая по 10 мая включительно?  (Ответ: 80) При подготовке к экзамену ученик каждый день с 1 по 8 июня включительно  увеличивал количество решенных задач на одно и то же число. С 1 июня по 4 июня включительно он решил 24 задачи, а со 2 июня по 6 июня – 45 задач. Сколько задач ученик решил 8 июня?  (Ответ: 17)

ЕГЭ – 2003 (пробный экзамен)