Образовательная программа элективного курса «Последовательность. Прогрессии» (стр. 4 )

Пример 2.  Найти сумму  всех четных трехзначных чисел, кратных трем.

Наименьшим числом, удовлетворяющим данному условию, является 102, следующее за ним число 108, далее 114 и т. д. Получаем арифметическую прогрессию 102; 108; 114; 120; 126; … . Наибольшим числом, удовлетворяющим условию задачи, является число 996.

Итак, для арифметической прогрессии  (аn ) , у которой  a1 = 102,  d = 6, 

an = 996,  нам нужно вычислить Sn.

Имеем  аn = a1 +(n -1)d.  Подставив в это равенство вместо аn, a1 и d  их значения, получим 996 = 102 + 6(n -1), откуда n = 150.

Далее, имеем  Sn =  · n.  Подставив в это равенство аn, a1 и  n  их значения, находим:

S150 = = 82350.

Пример 3. Решить уравнение:

  2 + 5 + 8 + 11 + … + х = 155.

Ясно, что здесь сумма  связана с арифметической прогрессией, в которой  a1 = 2;  аn = х;  Sn =  155;  d = 3.

Найдем n.

1)  n =  , откуда  n =;

2)  Sn =  · n.

Можно записать  155 = · ; откуда  х2 + 3х – 928 = 0;  получим х1 = - 32, что не удовлетворяет условию задачи, т. к. прогрессия содержит положительные члены,  х2 = 29, что и является корнем уравнения. 

Практикум 

1. Найти сумму всех двузначных чисел, кратных 4.

2. Известно, что сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найдите сумму одиннадцати первых членов этой прогрессии.

3. Решить уравнение:  1 – 5 – 11 - … - х = - 207. 

4. Дано:  S5 – S2 – a5 = 0,1  и  S4 + a7 = 0,1.  Найти:  a1  и  d.  5. Найти  Sn =

Ответ: 

  1.  Sn =  1188.  2. S11 =  44. 

3. х = 47.

4. a1 = - 0,7,  d = 0,3. 

5. Sn =  .

II.4.Геометрическая прогрессия

Рассмотрим несколько последовательностей и попытаемся сформулировать их общие свойства  an  -  1; 4; 16; 64; 256; …  bn  - 

cn  - 

dn  -  3; 3; 3; …

Наблюдения подсказывают, что каждый последующий член этих последовательностей отличается  в q раз от предыдущего.

Для  an  -  q = 4  ; 

  bn  -  q = ; 

  cn  -  q =   ; 

  dn  -  q = 1.

Теперь сформулируем более точно их особенности и дадим имя таким последовательностям.

Определение.  Последовательность называется геометрической прогрессией, если отношение каждого последующего члена последовательности к рядом стоящему предыдущему члену есть величина постоянная, равная постоянному q, называемому знаменателем прогрессии. Или возможно другое определение:  последовательность bn, заданная рекуррентным соотношением  bn+1 = bn·q, называется геометрической прогрессией. Здесь q ≠ 0 – постоянная величина, называемая знаменателем прогрессии; bn≠ 0 – начальное значение.

Иными словами, это – последовательность, каждый член которой, кроме первого, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называемое знаменателем прогрессии.

Рассмотрим закономерность образования геометрической прогрессии и попытаемся выявить функциональную зависимость n-го члена геометрической прогрессии от его номера.  b2  = b1· q;  b3  = b2· q = b2  = b1· q2 ;  b4= b3· q =  b1· q3 ;  b5 = b4· q = b1· q4 ; и т. д.

Значит,  мы получили формулу n-го члена  bn  = b1· qn-1  .

Строгое доказательство возможно только методом математической индукции.

Пример 1.  Записать общий член геометрической прогрессии  1; 4; 16; 64; 256; … 

Так как b1 = 1; q = 4  и  bn  = b1· qn-1  ,  то bn  = 1· 4n-1  , т. е.  bn  = 4n-1  .

Пример 2.  Известно, что сумма первого и второго членов геометрической прогрессии равна 8. а сумма четвертого и пятого членов этой прогрессии равна 216. Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.

Составим систему уравнений   

Выразим каждый член прогрессии через b1  и  q. Получим:

Решая систему, получим  b1 = 2; q = 3. 

II.5.Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Для того, чтобы последовательность (bn) являлась геометрической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы квадрат  любого последующего члена последовательности, кроме первого, был равен произведению рядом стоящих членов последовательности.

  b2 n+1  =  bn· bn+2 , n € N. 

Необходимость.

Пусть (bn) - геометрическая прогрессия. Тогда

bn  = b1· qn-1  ;  bn+2  = b1· qn+1  ;  bn+1  = b1· qn  .

Найдем произведение:  bn  · bn+2  = b21· q2n  .

Возведем в квадрат:  b2n+1  = b21· q2n  .

Значит,  b2 n+1  =  bn· bn+2  .

Достаточность.

Пусть для любого последующего члена последовательности выполняется соотношение  b2 n+1  =  bn· bn+2 .

Тогда  ,

т. е. отношение любого последующего члена последовательности к предыдущему есть величина постоянная.

Это значит, что по определению последовательность (bn) - геометрическая прогрессия, что и требовалось доказать.

Пример 1.  Известно, что в геометрической прогрессии  bm+n = 9  и  bm-n = 4 . Найти  bm.

Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии:

b2 m  =  bm+n· bm-n  = 9· 4;  b2m = 36  по свойству геометрической прогрессии. Отсюда  bm = ±√36 , bm = ±6.

Пример 2.  Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Если затем третье число увеличить на 9, то вновь получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.

Перепишем условия задачи следующим образом:

b1;  b2  ;  b3  b1 ;  b2 + 2;  b3

b1 ;  b2 + 2;  b3 + 9.

Используя характеристические свойства прогрессий, получим:

  .

Если теперь выразить b2  и  b3 через  b1  и q, то придем к системе уравнений:

  ,  решив которую, найдем

b1 = 4; q = 2  или  b1 = ; q = - 4. 

Значит, числа 4; 8; 16  или 

Практикум

1. Записать общий член прогрессий: 

bn  - 

cn  - 

dn  -  3; 3; 3; …

2.  Известно, что b4 =   и  b6 = . Найти b1 .  3.  Является ли геометрической прогрессией последовательность (bn) , если:  а)  х1 = 5  и  хn+1 = 4xn ;  б)  x1 = - 8  и  xn+1 = 0,5 + xn.

4.  Разность четвертого и первого членов геометрической прогрессии равна 52, а сумма трех первых членов этой прогрессии равна 26. Найти b6 .

5.  Дано: b1 – b3 + b5 = - 65  и  b1 + b1 q6 = 325. Найти b1 и  q.

Ответ: 

  1.  bn = n ;  cn = (-1)n-1 · n ;  dn = 3.  2.  b1 = ± 20. 

3.  а) да ; б) нет.

4.  b6 = 486.  5.  b1 = - 5;  q = 2  или  b1 = - 5;  q = - 2.

II.6.Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Выведем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.  Пусть (bn) – геометрическая прогрессия. Тогда  Sn = b1 + b2 + b3 + b4 + … + bn.  Преобразуем формулу для Sn.  1)  Sn = b1 + b1 q + b1 q2 + b1 q3 + … + b1 qn-1 . 

Умножим обе части равенства на q ≠ 0.  2)  Получим

Sn · q = b1· q + b1 q2 + b1 q3 + b1 q4  + … + b1 qn-1 + b1 qn.  Вычтем из первого равенства второе.