Образовательная программа элективного курса «Последовательность. Прогрессии» (стр. 3 )

Впервые исследования последовательностей, заданных таким образом, провел итальянский математик Леонардо из Пизано (Фибоначчи) (1180-1240).

Пример 2.  Л. Фибоначчи в одной из своих работ рассмотрел следующую задачу: «Пара кроликов приносит раз в месяц приплод из двух крольчат (самки и самца), причем новорожденные крольчата через два месяца после рождения уже приносят приплод. Сколько кроликов появится через год, если в начале года была одна пара новорожденных кроликов?»

Из условия задачи следует, что через месяц будет одна пара кроликов, через два месяца – две пары, через три месяца приплод даст только первая пара, и получится три пары кроликов. Еще через месяц приплод дадут как исходная пара кроликов, так и пара, появившаяся два месяца назад, поэтому всего будет пять пар кроликов. Получим числа 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; … , которые называют числами Фибоначчи, а последовательность из этих чисел – последовательностью Фибоначчи. Эта последовательность определяется следующими условиями: а0 = 1, а1 = 1, аn+1 = an + an-1 . (В последовательности Фибоначчи нумерацию начали с нуля, т. к. нумерацию в принципе можно начинать с любого целого числа. Однако, принято нумеровать члены последовательности натуральными числами).

Практикум

Вычислите первые пять членов следующих последовательностей:

1. an = .  2. an =  .  3. an = .  4.  an = .

Ответ: 

  1.  5;  -3,5;  -1,8;  -1,375;  -1.

2. 

3.    4.  1; 1;

II. Прогрессии

Цель: ввести понятия арифметической и геометрической прогрессий; вывести формулы для нахождения n-го члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий; рассмотреть характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий; закрепить навыки и умения применения указанных свойств и формул при решении задач.

II.1. Арифметическая прогрессия

Рассмотрим несколько последовательностей.

an  -  1; 4; 7; 10; 13; …

bn  -  2; 6; 10; 14; 18; …

cn  -  7; 2; -3; -8; -13; …

Все они обладают одним интересным свойством. Интересно, а каким? Если внимательно присмотреться и проанализировать, то можно заметить, что:

в последовательности an все члены последовательности, стоящие рядом, отличаются на 3; в последовательности  bn все члены последовательности, стоящие рядом, отличаются на 4; в последовательности  cn все члены последовательности, стоящие рядом, отличаются на -5.  Выделим такой тип последовательностей и дадим ему имя.

Определение. Последовательность an называется арифметической прогрессией, если разность между любым последующим ее членом и предыдущим, стоящим рядом, есть величина постоянная, которая обозначается d и называется разностью прогрессии.

Иногда определяют и так. Последовательность an называется арифметической прогрессией, если она задана рекуррентным соотношением аn+1 = an + d, n € N.  Здесь d – постоянная величина, называемая разностью прогрессии; а1 – заданное начальное условие.

Очевидно, что по смыслу определения совпадают. 

Иными словами, арифметическая прогрессия – это последовательность, каждый член которой, кроме первого, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называемым разностью прогрессии.

Для обозначения того, что последовательность является арифметической прогрессией, используется запись (an).

Рассмотрим закономерность образования арифметической прогрессии и попытаемся выявить функциональную зависимость  n-го члена прогрессии от его номера.

Дано аn+1 = an + d.

n = 1;  а2  = a1 + d;

n = 2;  а3= a2 + d = а1 + d + d = a1 + 2 d;

n = 3;  а4 = a3 + d = а1 + 2d + d = a1 + 3 d;

n = 4;  а5= a4 + d = а1 + 3d + d = a1 + 4 d; и т. д.

Прослеживается закономерность аn = a1 +(n -1)d,

т. е. получили формулу n-го члена. Строгое доказательство этого факта возможно только методом математической индукции.

Пример 1. 

(an)  -  1; 4; 7; 10; 13; …

Очевидно, что а1 = 1; d = 3;  тогда  аn = 1 +(n -1) · 3, т. е.  аn = 3n – 2.

Пример 2.

bn  -  2; 6; 10; 14; 18; …

Ясно, что здесь b1 = 2; d = 4; тогда bn = = 2 +(n -1) · 4, т. е. bn = 4n – 2.

Пример 3.

cn  -  7; 2; -3; -8; -13; …

Здесь c1= 7; d = - 5;  тогда  cn = 7 +(n -1) · (-5), т. е.  cn = -5n + 12.

II.2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Для того, чтобы последовательность (аn) являлась арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы любой ее член, начиная со второго, был равен среднему арифметическому рядом стоящих ее членов, т. е. аn+1 =   ,  n € N.

Достаточность.

Пусть для последовательности (аn) выполняется соотношение

аn+1 = , тогда  2аn+1 = an + аn+2 ,что можно преобразовать в  аn+1 - an = аn+2 - аn+1 . Это значит, что разность между любыми, рядом стоящими членами последовательности, величина постоянная, или что  (аn) – арифметическая прогрессия.

Необходимость.

Пусть (аn)  - арифметическая прогрессия, т. е. аn+1 = a1 +nd.

Тогда  аn = a1 +(n -1)d,

  аn+2 = a1 +(n +1)d. 

Сложим почленно левые и правые части равенств и разделим полученные суммы на 2. Получим:

  =    = a1 +nd.

Таким образом, получим, что  аn+1 = , что и требовалось доказать.

Пример. Известно, что сумма второго и восьмого членов арифметической прогрессии равна 10, а сумма третьего и четырнадцатого членов этой же прогрессии равна 31. Найти первый член и  разность этой прогрессии.

По условию  а2 + a8 = 10;  а3 + a14 = 31.  Составим систему уравнений:

   

Выразим в каждом уравнении все члены через  a1 и d.

Получим:   

Решая систему уравнений, получим  a1 = - 7 , d = 3.

Практикум

Сумма второго, четвертого и шестого членов арифметической прогрессии равна 36, а произведение второго и третьего членов прогрессии равно 54.  Найти первый член и  разность этой прогрессии. При делении тринадцатого члена арифметической прогрессии на третий член в частном получается 3, а при делении восемнадцатого члена на седьмой член в частном получается 2 и в остатке 8. Найти первый член и  разность этой прогрессии. Сумма первого и седьмого  членов арифметической прогрессии равна 4, а сумма квадратов третьего и седьмого членов этой прогрессии равна 122.  Найти первый член и  разность этой прогрессии.  4.  Сумма n  первых членов арифметической прогрессии равна 820, первый ее член равен 3, а разность этой прогрессии равна 4. Найти число n  и член прогрессии, стоящий  под номером n. 

Ответ:

  1.  a1 = - 33,  d = 15  или  a1 = 3,  d = 3.  2.  a1 =  12,  d = 4.

3.  a1 = - 7,  d = 3  или  a1 = - 13,4,  d = - 3,8.  4.  n = 20 ,  аn = 79.

II.3. Формула суммы n первых членов арифметической  прогрессии

Очень часто в задачах требуется не только найти первый член арифметической прогрессии, но и сумму нескольких ее членов. Конечно, можно найти все необходимые члены, а затем их сложить. Но что делать, если понадобиться найти сумму, например 100 членов прогрессии? Вычислять все сто, а потом их складывать? Можно, конечно, но это слишком трудоемкий процесс. Выведем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Запишем в прямом и обратном порядке сумму n первых членов арифметической прогрессии и сложим почленно левую и правую части равенств.

Sn = а1 + a2 + а3 +  … + аn-2  + an-1 + аn

Sn = аn  + an-1 + аn-2 + … + а3+ a2 + а1

2Sn =  (а1 + an ) + (а2  + аn-1 ) + … + (an-2 + а3) + (аn-1 + a2 ) + (аn + a1 )

Так как в каждой скобке значения выражений совпадают (можно проверить, выразив каждый член прогрессии через а1 и d), то все они равны между собой. Тогда

2Sn =  (а1 + an )· n. Значит,  Sn = · n. (1)

С учетом формулы аn = a1 +(n -1)d  формула суммы n первых членов арифметической прогрессии примет несколько иной вид:

Sn = · n.  (2)

Пример 1.  В арифметической прогрессии (аn ) известно, что  a1 = 3,  d = 4. Найти сумму двадцати первых членов этой прогрессии.

Используя формулу  (2), получим:

Sn = · n  или Sn =  = 820.