Рейтинговая система обучения дисциплине "Дифференциальная геометрия и топология": организационно-методические материалы (стр. 3 )

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ  РЕЗУЛЬТАТЫ  ОБУЧЕНИЯ

дисциплине «Дифференциальная геометрия и топология»

Пояснительная записка

Данные материалы представляют собой перечень знаний, умений и навыков по дисциплине «Дифференциальная геометрия и топология», владение которыми является необходимым условием получения студентом положительной оценки на экзамене (зачете) по этой дисциплине. Другими словами, студент, не освоивший их, не может быть аттестован по итогам прохождения данного курса, однако владение ими не обеспечивает автоматически получения удовлетворительной оценки.

В разделе А («Основные знания») дается перечень основных понятий и фактов теоретической части курса. Студенту, претендующему на положительную оценку, необходимо знать определения соответствующих понятий и уметь иллюстрировать их на простейших примерах. Факты, приведенные в данном перечне, необходимо уметь точно формулировать (в виде теорем, правил, алгоритмов, формул). Нужно также понимать их смысл и уметь применять их в простейших ситуациях.

В разделе Б («Основные умения и навыки») перечисляются простейшие умения и навыки, охватывающие ядро практической подготовки по данной дисциплине. Ими должен уверенно владеть каждый студент по окончании прохождения курса. Они иллюстрируются простейшими примерами, снабженными ответами, аналогичные которым должен уметь решать каждый студент, претендующий на удовлетворительную оценку по дисциплине.

СЕМЕСТР 3

Элементы  дифференциальной  геометрии

А. Основные знания

Кривые

Элементарная и общая кривые. Параметрические уравнения элементарной кривой в декартовых координатах (векторный и скалярный варианты). Гладкая (регулярная) элементарная кривая класса C k  . Способы задания плоских и пространственных кривых (параметрический, явное и неявное задания в декартовых координатах, задание плоской кривой полярным уравнением). Касательная прямая  кривой в точке. Нормаль плоской кривой и нормальная плоскость пространственной кривой в точке. Длина дуги гладкой элементарной кривой. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой. Канонический репер (базис) пространственной кривой в точке. Формулы Френе. Кривизна и кручение кривой в точке. Точка спрямления и точка уплощения кривой. Основная теорема теории кривых.

Поверхности

Элементарная и общая поверхности. Параметрические уравнения элементарной поверхности в декартовых координатах (векторный и скалярный варианты). Гладкая (регулярная) элементарная поверхность класса C k  . Способы задания поверхностей (параметрический, явное и неявное  поверхностей в декартовых координатах). Касательная плоскость и нормаль поверхности в точке. Канонический репер (базис) параметризованной поверхности в точке. Первая квадратичная форма параметризованной поверхности и ее применения. Вторая квадратичная форма параметризованной поверхности и ее применения. Главные кривизны поверхности в точке. Полная (гауссова) и средняя кривизны поверхности в точке. Индикатриса нормальной кривизны (Дюпена) поверхности в точке. Классификация точек поверхности. Строение поверхностей в окрестностях точек разных типов. Примеры поверхностей знакопеременной, знакопостоянной и постоянной полной кривизны. Теорема egregium Гаусса. Теорема Бонне. Замечательные линии на поверхностях (асимптотические, кривизны, геодезические). Понятие о внутренней геометрии поверхности.

Б. Основные умения и навыки

Кривые

Проверка принадлежности кривой, заданной параметрически в декартовых координатах, классу гладких (регулярных) кривых.

Пример. Проверить, является ли кривая регулярной (если «да», то какого класса?):

а) ;  б) ?

Ответ. а) регулярная класса ;  б) нерегулярная.

Параметризация плоских и пространственных кривых, заданных явно в декартовых координатах.

Пример. Параметризовать кривую:

а) ;  б) .

Ответ. а) ;  б) .

Параметризация плоской кривой, заданной полярным уравнением, в декартовых координатах, согласованных с полярными стандартным образом.

Пример. Параметризовать кривую, заданную полярным уравнением , в декартовых координатах, согласованных с полярными стандартным образом.

Ответ. .

Составление уравнения касательной прямой кривой в точке при различных способах задания кривой в декартовых координатах (параметрическом, явном, неявном).

Пример. Составить уравнение касательной прямой кривой в точке М:

а) ;

б) ;

в) .

Ответ. а) ;  б) ;  в) .

Составление уравнения нормали плоской кривой и нормальной плоскости пространственной кривой при различных способах задания кривых в декартовых координатах (параметрическом, явном, неявном).

Пример. Составить уравнение нормали (если кривая плоская) или нормальной плоскости (если кривая пространственная) кривой в точке М:

а) ;

б) ;

в) .

Ответ. а) ;  б) ;  в) .

Вычисление длины дуги кривой при различных способах ее задания.

Пример. Вычислить длину дуги кривой:

а) ;

б) ;

в) .

Ответ. а) ;  б) ;  в) .

Нахождение уравнений ребер и граней сопровождающего трехгранника пространственной кривой.

Пример. Для винтовой линии , найти уравнения:

а) касательной прямой;  б) бинормали;  в) главной нормали;

г) нормальной плоскости;  д) соприкасающейся плоскости;

е) спрямляющей плоскости в точке .

Ответ. а) ;  б) ;

в) ;  г) ;  д);  е) .

Вычисление кривизны и кручения кривой в точке.

Пример. Вычислить кривизну k и кручение ж кривой в точке  М(1; 1; 0).

Ответ. ж .

Нахождение точек спрямления и точек уплощения кривой.

Пример. Доказать, что кривая , является плоской и не имеет точек спрямления.

Поверхности

Проверка принадлежности поверхности, заданной параметрически в декартовых координатах, классу гладких (регулярных) поверхностей.

Пример. Проверить, является ли поверхность регулярной (если «да», то какого класса?):

а) ;  б) ?

Ответ. а) регулярная класса ;  б)нерегулярная.

11. Параметризация поверхности, заданной явно в декартовых координатах.

Пример. Параметризовать поверхность .