Проверка отображения топологического пространства на гомеоморфность.

Пример. При каких значениях a, b, c функция являеться гомеоморфизмом R1 на R1?

Ответ. R.

Конструирование гомеоморфных отображений пространства, проверка топологических пространств на гомеоморфность.

Пример. Найти какой-нибудь гомеоморфизм промежутка А на промежуток В числовой прямой (доказать, что промежутка А и В гомеоморфны):

а) A=[1; 5], B=[2; 3];  б) A=(0; 1), B=(0; +∞);  в) A=(0; 1], B=[0; 1).

Ответ. а) ;  б) ;  в) .

Проверка свойства пространства на топологическую инвариантность.

Пример. Какие из следующих свойств являются топологическими:

а) свойство пространства Х быть сепарабельным;

б) свойство пространства Х быть полным;

в) свойство фигуры в Rn быть выпуклой;

г) свойство фигуры в Rn быть ограниченной;

д) свойство пространства Rn иметь размерность n?

Ответ. а),  д).

11.Проведение топологической классификации совокупности топологических пространств.

Пример. Провести топологическую классификацию:  а) совокупность букв фамилии, имени, отчества;  б) графиков основных элементарных функций школьного курса математики;  в) кривых второго порядка (как подпространств пространства R2).

Ответ. б) класс 1 –

;  класс 2 – ;  класс 3 –

;  класс 4 – ;  класс 5 – ;

в) класс 1 – эллипс;  класс 2 – гипербола, пара параллельных прямых;  класс  3 – парабола, прямая (двойная);  класс 4 – пара пересекающихся прямых;  класс 5 – тачка.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

12. Нахождение базы топологического пространства.

Пример. Укажите несколько баз пространства R1.

Ответ. в1=фR1, в2={(a;b) | a<b,  a, b R*}  (R*= R{+∞}{-∞}),  в3={(a;b) | a<b,

a, b R}, в4={(a;b) | a<b,  a, b Q} и т. д.

Проверка топологического пространства на удовлетворение 2-й аксиоме счетности.

Пример. Удовлетворяет ли пространство R1  2-й аксиоме счетности?

Ответ. Да.

Проверка топологического пространства на удовлетворение аксиоме отделимости Т2.

Пример. Являются ли хаусдорфовыми следующие пространства:

а) антидискретное;  б) дискретное (в котором не меньше двух точек); 

в) произвольное метрическое;  г) (Х, ф), где Х={a, b}, ф={Ш, X, {a}}?

Ответ. а) нет;  б) да;  в) да;  г) нет.

Проверка пространства, подмножества пространства на связность.

Пример 1. Является ли связным пространство: а) антидискретное (в котором не меньше двух точек);  в) R1;  г) (Х, ф), где Х={a, b}, ф={Ш, X, {b}}?

Ответ. а) да;  б) нет;  в) да;  г) да.

Пример 2. Является ли связным множество: а) Z в R1;  б) Q в R1;  в) (1; 2] в R1;  г) S1 в R2;  д) B3D3((10; 10; 10), 1) в R3;  е) «польский отрезок» в R2?

Ответ. а) нет;  б) нет;  в) да;  г) да;  д) нет;  е) да.

Проверка пространства, подмножества пространства на линейную связность.

Пример 1. Является ли линейно связным пространство: а) антидискретное;  б) дискретное (в котором не меньше двух точек);  в) Rn?

Ответ. а) да;  б) нет;  в) да.

Пример 2. Является ли линейно связным множество: а) Z в R1;  б) Q в R1;  в) (1; 2] в R1;  г) S1 в R2;  д) B3D3((10; 10; 10), 1) в R3;  е) «польский отрезок» в R2?

Ответ. а) нет;  б) нет;  в) да;  г) да;  д) нет;  е) нет.

Нахождение компонент связности, компонент линейной связности пространства, множества в пространстве.

Пример 1. Найти компоненты связности: а) произвольного связного пространства (Х, ф);  б) дискретного пространства;  в) пространства (Х, ф), где Х={a, b, с}, ф={Ш, X, {a}, {b} {a, b}, {a, c}}.

Ответ. а) Х;  б) каждое одноэлементное подмножество;  в) {a, c} и {b}.

Пример 2. Найти компоненты связности: а) множества Q в R1;  б) графика функции в R2;  в) Т2 \ (АВ), где А, В – соответственно параллель и меридиан тора Т2 в R3;  г) «польского отрезка»  АВ, где А={(x; y) | x(0; ],  },  B={(0; y) | y[-1;1]} в R2.

Ответ. а) каждое одноэлементное подмножество Q;  б) ветви данной гиперболы; 

в) Т2 \ (АВ);  г) АВ.

Пример 3. Найти компоненты линейной связности: а) произвольного связного пространства (Х, ф),  б) дискретного пространства;  в) пространства (Х, ф), где Х={a, b, с}, ф={Ш, X, {a}, {b} {a, b}, {a, c}}.

Ответ. а) Х;  б) каждое одноэлементное подмножество;  в) {a, c} и {b}.

Пример 4. Найти компоненты линейной связности:  а) множества II в R1;  б) «польского отрезка»  АВ в R1 (см. пример 2);  в) B2D2((10; 10; 10), 1) в R3; 

г) произвольного выпуклого множества А в Rn.

Ответ. а) каждое одноэлементное подмножество ІІ; б) А и В; в) B2 и D2((10; 10; 10), 1); г) А.

Проверка пространства, подмножества пространства на компактность.

Пример 1. Является ли компактным пространство: а) антидискретное;  б) бесконечное дискретное;  в) произвольное конечное; г) Rn?

Ответ. а) да;  б) нет;  в) да;  г) нет.

Пример 2. Является ли компактным множество: а) [0; 1]{2} в R1;  б) замкнутая полуплоскость в R2;  в) В2((-2; 0), 1)В2((2; 0), 1) в R3;  г) S2 в R3?

Ответ. а) да;  б) нет;  в) нет;  г) да.

Нахождение прямого произведения топологических пространств.

Пример. Найти прямое произведение (указать носитель и базу топологии):

а) ;  б) ;  в)   (множители – подпространства соответствующих евклидовых пространств).

Ответ. а) {(x, y) | x, y(-1;1)}, { | U, V фR1} (топологический квадрат, открытый);  б) {(x, y, z) | , z[-1;1]}, { | UфR2}, V фR1}  («боковая поверхность цилиндра»);  в) {(x, y, u, v) | ,  }, { | U, V фR2} (топологический тор, заполненный).

Нахождение фактор-пространства топологического пространства.

Пример. Найти фактор-пространство квадрата (с топологией, индуцированной топологией фR2 пространства R2) по отношению эквивалентности S, заданному фактор-диаграммой:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6