Рейтинговая система обучения дисциплине "Дифференциальная геометрия и топология": организационно-методические материалы (стр. 6 )

Сделать эскиз поверхности в R3, гомеоморфной указанному фактор-пространству (если таковая существует).

Ответ. а) – г)  (K/S, ф(K/S)), где K/S={[p] | pK} – фактор-множество множества К по отношению эквивалентности S, (p)=[p] – фактор-отображение, ф(K/S).=.{ | фR2  } – фактор-топология;  а) лента Мёбиуса; 

б) тор;  в) бутылка Клейна (не допускает вложения в R3);  г) проективная плоскость (не допускает вложения в R3).

образцы итоговых тестов базового уровня

Вариант 1

1. Проверить, что кривая, заданная параметрическими уравнениями x=3t3-2,  y=2t2-6,  z=-t+4,  tR, проходит через точку М(-2,-6,4) и определить параметр  t  этой точки. Вычислить кручение кривой в точке М.

Ответ: 4,5.

Доказать что меридианы и параллели параметризованной сферы в каждой точке их пересечения перпендикулярны

3. На множестве задана топология  . Найти совокупность   замкнутых в топологическом пространстве (X,) множеств и выяснить, будет ли она топологией на множестве X? Указать компоненты связности пространства (X, ).

Ответ:  - топология. Х - компонента связности.

Являются ли следующие множества компактными:

а) в R1;  б) R x R в R2 ?

Ответ: а) да;  б) нет.

Вариант 2

Проверить, что кривая, заданная параметрическими уравнениями x=3t3-2,  y=-t2+6,  z=-2t-4,  tR, проходит через точку М(-2,6,-4) и определить параметр  t  этой точки. Доказать, что точка М не является точкой спрямления. Написать уравнение нормали к параметризованному эллиптическому параболоиду в точке Е(u=, v=).

Ответ: .

3. На множестве задана топология  . Найти совокупность   замкнутых в топологическом пространстве (X,) множеств и выяснить, будет ли она топологией на множестве X? Указать компоненты связности пространства (X, ).

Ответ:  - топология. {a, b} и {c}- компоненты связности.

Являются ли следующие множества компактными: а)  [4;6) \ {5} в R1;  б)  {}x{} в R2 ?

Ответ: а) нет;  б) да.

Вариант 3

Проверить, что кривая, заданная параметрическими уравнениями x=4t3-2,  y=2t2-6,  z=3t-4,  tR, проходит через точку М(-2,-6,-4) и определить параметр  t  этой точки. Доказать, что точка М не является точкой уплощения.
Найти первую квадратичную форму параметризованного прямого геликоида

, и с ее помощью вычислить длину дуги координатной линии v=1, заключенной между ее точками S и T с координатами u=2 и u=3 соответственно.

Ответ:

3.  На множестве задана топология  . Найти совокупность   замкнутых в топологическом пространстве (X,) множеств и выяснить, будет ли она топологией на множестве X? Указать компоненты связности пространства (X, ).

Ответ:  - топология. X - компонента связности.

Являются ли следующие множества компактными: а) в R1;  б)  R х Z в R2 ?

Ответ: а) да;  б) нет.

Вариант 4

Проверить, что кривая, заданная параметрическими уравнениями x=4t3-2,  y=3t2-4,  z=2t-6,  tR, проходит через точку М(-2,-4,-6) и определить параметр  t  этой точки. Вычислить кривизну кривой в точке М.

Ответ: 3.

2

Написать уравнение касательной плоскости к параметризованному гиперболическому цилиндру  в точке В (u=1, v=0).

Ответ: х=1.

На множестве задана топология  . Найти совокупность   замкнутых в топологическом пространстве (X,) множеств и выяснить, будет ли она топологией на множестве X? Указать компоненты связности пространства (X, ).

Ответ:  – топология. {a, c}и {b}- компоненты связности.

Являются ли следующие множества компактными: а) (3;4){5}в R1;  б) {0}x{-;} в R2 ?

Ответ: а) нет;  б) да.

Вариант 5

1. Проверить, что кривая, заданная параметрическими уравнениями x=4t3+3,  y=-3t2+4,  z=2t+5,  tR, проходит через точку М(3,4,5) и определить параметр  t  этой точки. Вычислить кручение кривой в точке М.

Ответ: +24.

Найти угол между координатными линиями параметризованного кругового конуса

в произвольной его точке.

Ответ:.

3. На множестве задана топология  . Найти совокупность   замкнутых в топологическом пространстве (X,) множеств и выяснить, будет ли она топологией на множестве X? Указать компоненты связности пространства (X, ).

Ответ:  – топология. Х - компонента связности.

Являются ли следующие множества компактными: а) в R1;  б) R x N в R2 ?

Ответ: а) да;  б) нет.

Темы для разработки в рамках УИРС

РАЗДЕЛ I  Элементы дифференциальной геометрии

Плоские кривые (Квант, 1988, №№11-12) Геометрия уравнений (Квант, 1988, №10) Гексаграмы Паскаля и кубические кривые (Квант, 1987, №8) Сегменты постоянной площади (Квант, 1990, №8) Дифференциальная геометрия вокруг нас (Квант, 1989, №11) Так ли прост евклидов мир? (Квант, 1984, №1) Сети Чебышева на поверхности (Квант, 1990, №7) Прямые на кривых поверхностях (Квант, 1989, №12) Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского (Квант, 1984, №6) Модель Кэли-Клейна геометрии Лобачевского (Квант, 1976, №3) О геометрии Лобачевского (Математика в школе, 1993, №№2,3) Теория относительности и геометрия (Математика в школе, 1991, №3) О кривизне (Квант, 1989, №5, 1992, №4) Арифметика эллиптических кривых (Квант, 1987, №7) Сколько кривых на Земле? (Квант, 1991, №1) Огибающая (Квант, 1987, №3) Текстильная геометрия (Квант, 1990, №7) Геометрия листа бумаги (Квант, 1988, №9)

РАЗДЕЛ II  Элементы топологии

Что такое размерность? (Квант, 1991, №6) Игра “Хаос” и фракталы (Квант, 1997, №4) Теорема Борсука-Улама (Квант, 1983, №8) Кратчайшая лента Мёбиуса (Квант, 1990, №1) Теорема Хелли (Фокус, 1996, №4) О запутанных веревках и топологии полимерных цепей (Квант, 2000, №6) Второй закон Кеплера и топология абелевых интегралов (Квант, 1987, №12) Чему равна сумма углов многоугольника? (Квант, 2001, №3). Косы и узлы (Квант, 1989, №2) Фракталы (Квант, 1989, №5) Топология и рельеф местности (Квант, 1982, №8) Узлы зацепления и их полиномы (Квант, 1989, №4) Соображения непрерывности (Квант, 1987, №9) Лента Мёбиуса и ее свойства (Квант, 1974, №3, 1977, №3, 1978, №3, 1979, №1) Сплетения скрещивающихся прямых (Квант, 1988, №3) Расправление контуров на плоскости (Квант, 1983, №4) Классификация пленок (Квант, 1984, №2)