Ответ. 
.
Пример. Составить уравнение касательной плоскости и нормали поверхности в точке М:
а) 
;
б) 
; в) 
.
Ответ. а) 
; б) 
;
в) 
.
Пример. На круговом цилиндре 
найти длину дуги кривой 
, заключенной между точками 
и 
.
Ответ. 
.
Пример. Найти угол между координатными линиями на гиперболическом параболоиде 
в точке М(1; 1; 1).
Ответ. 
.
Пример. Найти площадь криволинейного треугольника на цилиндре 
, 
, ограниченного координатными линиями, проходящими через точку М(1; 0; 1), и кривой 
.
Ответ. 
.
Пример. Вычислить полную кривизну конуса 
в произвольной точке.
Ответ. 0.
Вычисление средней кривизны поверхности в точке.Пример. Вычислить среднюю кривизну конуса 
в точке М(1; 0; 1).
Ответ. 
.
Пример. Вычислить главные кривизны катеноида 
в точке М(0; 1; 0).
Ответ. 
.
Пример. Составить уравнение индикатрисы Дюпена прямого геликоида 
в точке М(1; 0; 0).
Ответ. 
.
Пример. Определить тип точек прямого геликоида 
.
Ответ. Все точки – гиперболического типа.
СЕМЕСТР 4
Элементы ТОПОЛОГИИ
А. Основные знания
Топология на множестве. Топологическое пространство. Открытое множество в топологическом пространстве. Окрестность точки. Естественная топология метрического пространства. Антидискретное и дискретное топологические пространства. Сравнение топологий, заданных на одном и том же множестве. Замкнутое множество в топологическом пространстве. Строение открытых и замкнутых множеств в пространстве R1. Индуцированная топология на подмножестве топологического пространства. Подпространство топологического пространства. Точка прикосновения и внешняя точка множества в топологическом пространстве. Замыкание множества. Внутренняя и граничная точки прикосновения множества. Предельная и изолированная точки прикосновения множества. Критерий открытости множества в топологическом пространстве. Критерий замкнутости множества в топологическом пространстве. Всюду плотное множество в топологическом пространстве. Непрерывное отображение топологического пространства в пространство. Критерий непрерывности отображения топологического пространства в пространство. Гомеоморфное отображение топологического пространства на пространство. Вложение топологического пространства в пространство. Гомеоморфный образ открытого (замкнутого) множества. Гомеоморфные пространства. Топологическое свойство и топологический инвариант пространства. Топологическая классификация пространств. База топологии (топологического пространства). Вторая аксиома счетности. Хаусдорфово топологическое пространство. Связное топологическое пространство. Связное множество в топологическом пространстве. Область в топологическом пространстве. Линейно связное топологическое пространство. Линейно связное множество в топологическом пространстве. Соотношение между связностью и линейной связностью. Компактное топологическое пространство. Компактное множество в топологическом пространстве. Критерий компактности множества в евклидовом пространстве. Прямое произведение топологических пространств. Прямое произведение хаусдорфовых, связных, линейно-связных, компактных пространств. Фактор-топология, порожденная сюръекцией. Фактор-топология, порожденная отношением эквивалентности на множестве. Фактор-пространства квадрата (лента Мёбиуса, тор, бутылка Клейна, проективная плоскость и др.). Локально-евклидово топологическое пространство. n-мерное непрерывное (топологическое) многообразие.
Б. Основные умения и навыки
Проверка выполнения аксиом топологии.
Пример. Является ли топологией на множестве X={a, b,c} совокупность его подмножеств:
а) {Ш, X, {b}, {a, b}, {a, c}};
б) {Ш, X, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}}?
Ответ. а) нет; б) да.
Проверка подмножества топологического пространства на открытость, замкнутость.Пример. Какие из множеств A, B, C, D являются открытыми и незамкнутыми, замкнутыми и неоткрытыми, ни открытыми ни замкнутыми, и открытыми и замкнутыми в топологическом пространстве (X, ф):
а) A=[1;+∞), B=(1;3], C=(-1;0)
(0;1), D={1,2}, (X, ф)=R1;
б) 
,
(X, ф)=R2;
в) .A={a}, B={b}, C={a, b}, D= Ш, X={a, b}, ф={ Ш, X, {a}}?
Ответ. а) A, D – замкнутые и неоткрытые, B – ни открытое ни замкнутое, C – открытое и незамкнутое; б) A, D – открытые и незамкнутые, B – замкнутое и неоткрытое, C – ни открытое ни замкнутое; в) A – открытое и незамкнутое, B – замкнутое и неоткрытое, C, D – и открытые и замкнутые.
Сравнение топологий, заданных на одном и том же множестве.Пример. Сравнить топологии ф0 (антидискретную), ф* (дискретную), ф1={ Ш, X, {a}},
ф2={Ш, X, {b}} на множестве X={a, b}.
Ответ. ф0 – самая слабая, ф* – самая сильная, ф1 и ф2 – несравнимые.
Проверка множеств на открытость, замкнутость в подпространстве топологического пространства.Пример. Какие из множеств A, B, C, D являются открытыми и незамкнутыми, замкнутыми и неоткрытыми, ни открытыми ни замкнутыми, и открытыми и замкнутыми в полуинтервале [0; 10) числовой прямой R1 (топология на полуинтервале индуцирована топологией пространства R1):
A=[0; 1), B=[1; 10), C=[0; 10), D=(1; 9]?
Ответ. A – открытое и незамкнутое, B – замкнутое и неоткрытое, C – и открытое и замкнутое, D – ни открытое ни замкнутое.
Нахождение точек прикосновения множества в топологическом пространстве.Пример. Найти замыкание множества в топологическом пространстве:
а) (-1; 0)
(0; 1) в R1; б) Q в R1; в) S1 в R2; г) В3 в R3.
Ответ. а) [-1; 1]; б) R; в) S1; г) D3.
Нахождение внутренних и граничных точек множества в топологическом пространстве.Пример. Найти внутренность и границу множества в топологическом пространстве:
а) (-1; 0]
[1; 2) в R1; б) II в R1; в) S2 в R3; г) D2 в R2.
Ответ. а) (-1; 0)
(1; 2) и {-1, 0, 1, 2}; б) Ш и R; в) Ш и S2; г) B2 и S1.
Пример. Найти совокупность предельных и совокупность изолированных точек множества в топологическом пространстве:
а) 
N} в R1; б) [0; 1)
{2} в R1; в) B2\{(0; 0)} в R2; г) S2 в R3.
Ответ. а) {0} и 
N}; б) [0; 1] и {2}; в) D2 и Ш; г) S2 и Ш.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
