Практикум по курсу физики Волновая и квантовая оптика Волновые свойства вещества Уравнение Шредингера Атомная и ядерная физика Основы физики твердого тела (стр. 4 )

- молярная масса газа, Т – абсолютная температура, R - универсальная газовая постоянная

Электрон двигается  по окружности радиусом 5 мм в однородном магнитном поле с магнитной индукцией . Определить его длину волны де Бройля.
Определить, какова скорость изменения длины волны де Бройля протона, ускоряемого продольным электрическим полем с напряженностью, в тот момент, когда его кинетическая энергия равна 1 кэВ.
Определить, какую дополнительную кинетическую энергию надо сообщить электрону, чтобы его длина волны де Бройля уменьшилась от 200 пм до 80 пм.
Определить энергию г-кванта, длина волны которого равна длине волны де Бройля электрона, прошедшего разность потенциалов 54 В. Под каким углом и к плоскости кристалла следует установить детектор электронов, чтобы зарегистрировать дифракцию электронов на кристаллической решетке  монокристалла никеля, постоянная решетки которого равна d=0,91Е,  (1 Е = ).
В одном из опытов Дэвисона и Джермера по отражению электронов от монокристалла никеля пучок моноэнергетических электронов падал нормально на поверхность кристалла. Максимум 4-ого порядка наблюдался в направлении под углом 550 к направлению падающих электронов. Энергия электронов была равна 180 эВ. Определить межплоскостное расстояние кристалла.
В одном из опытов пучок моноэнергетических электронов, ускоренных разностью потенциалов 410 В, пропускался через тонкую алюминиевую фольгу, имеющую поликристаллическую структуру. На экране, расположенном на расстоянии 10 см от фольги, возникала система дифракционных колец. Отражению первого порядка от кристаллических плоскостей с межплоскостным расстоянием d между ними соответствовало кольцо диаметром 3 см. Определить величину межплоскостного расстояния d. Преломлением электронных волн в фольге пренебречь.
Узкий пучок моноэнергетических электронов падает на кристалл под углом 300. Расстояние между соседними кристаллическими плоскостями 0,2 нм. При некотором ускоренном напряжении  наблюдали максимум отклоняющихся лучей, а следующий максимум зеркального отражения  возникает при напряжении . Определить напряжения и , при которых наблюдается максимумы зеркального отражения  электронов от кристалла.        
В опыте Дэвисона-Джермера электроны ускоряются электрическим полем.  Определить первые три значения ускоряющей разности потенциалов в электрическом поле, при которых наблюдаются максимумы при отражении электронов при их падении под углом 600 на естественную грань монокристалла, постоянная решетки которого равна 0,24 нм  (воспользоваться условием Вульфа-Брэггов).

3.1.5. ответы к задачам по теме «Волны де Бройля»

№ задачи	Ответ	№ задачи	Ответ
1		10
2		11
3		12
4		13
5		14
6		15	;
7		16
8		17
9	12%	18

3.1.6. набор задач по теме  «Соотношения неопределенностей гейзенберга»

Относительная неопределенность импульса частицы  равна 2%. Определить отношение неопределенности координаты этой частицы к  длине волны де Бройля  .
Пучок моноэнергетических электронов с кинетической энергией падает на щель . Определить полученную при этом  относительную неточность импульса электрона после прохождения щели. Квантовая или классическая частица (электрон)?
Оценить относительную ширину спектральной линии, если время жизни атома в возбужденном состоянии 10 нс, а частота излучения равна .
Размер атома равен 0,1 нм. Скорость электрона в атоме равна . Определить неопределенность скорости электрона в атоме. Квантовая или классическая частица электрон в атоме?
Определить время жизни -мезона, если ширина энергетического уровня .
Определить, какова относительная неопределенность импульса частицы, если неопределенность ее координаты равна длине волны де Бройля этой частицы.
. Электронный луч в кинескопе телевизора ускоряется напряжением 25кВ. Определить неопределенность координаты в пучке, электронов, если нестабильность ускоряющего напряжения не превышает 500 В.
Электрон находится внутри сферы диаметром 0,3 нм. Определить неопределенность его энергии .
Время жизни атома в возбужденном состоянии равно , длина волны излучения . Определить относительную ширину спектральной линии.
Минимальная энергия нуклона в ядре 10 МэВ. Оценить линейные размеры ядра. Масса нуклона ,  .
Оценить минимальную кинетическую энергию электрона, движущегося внутри сферы радиусом  .
Кинетическая энергия электрона в бесконечной потенциальной яме равна 10-11 Дж. Ширина ямы а = 100 нм.  Определить относительную неточность в определении импульса электрона.

3.1.7. ответы к задачам по теме  «Соотношения неопределенностей»

№ задачи	Ответ	№ задачи	Ответ
1		7
2		8
3		9
4	частица квантовая	10
5		11
6		12

4. уравнение шредингера

4.1. Основные формулы по теме «частица в потенциальной яме» и «прохождение частицы через потенциальный барьер»

НАЗВАНИЕ	ФОРМУЛЫ	ПОЯСНЕНИЯ
Нестационарное уравнение Шредингера  частицы в силовом поле		, m – масса микрочастицы, U(х, у, z, t) – нестационарное силовое поле, в котором частица находится, , – оператор Лапласа.
Стационарное уравнение Шредингера микрочастицы в стационарном (не зависящем от времени) силовом поле		U(х, у, z,) – стационарное силовое поле, в котором частица находится
Стационарное уравнение Шредингера микрочастицы в одномерном стационарном силовом поле		- одномерное силовое поле
Решение уравнения Шредингера		Комплемксная  фумнкция — функция которую можно представить в виде , где — это мнимая единица,  а и — действительные функции. Функция называется действительной частью функции , а — её мнимой частью. Функция называется комплексно сопряжённой функции . Произведение функции на её комплексно сопряжённую называется квадратом модуля функции. Квадрат модуля функции всегда положителен и обозначается символом
Плотность вероятности обнаружения частицы вблизи точки с координатами  (x, y, z) в объёме  dV=dx·dy·dz
Вероятность обнаружения частицы в одномерном случае в интервале с координатами  х1, х2
Решение уравнения Шредингера для одномерной бесконечной потенциальной ямы шириной	для собственных значений энергии частицы в яме: ,	– номер состояния (квантовое число), m – масса частицы
Разность энергий частицы двух соседних уровней в потенциальной яме
Решение уравнения Шредингера для одномерной бесконечной потенциальной ямы шириной	Для собственных значений волновой функции ,
Частица в трехмерной потенциальной яме	Энергия частицы	- квантовые числа,  - стороны  ямы
Частица в трехмерной  потенциальной яме	Пси - функция частицы
Коэффициент прохождения (коэффициент прозрачности) прямоугольного потенциального барьера высотой и шириной (см. рисунок 1)		Движение квантовой частицы отличается от движения классической частицы. В квантовой механике существует конечная вероятность обнаружить частицу в классически запрещённой области.
Рисунок 1
Рисунок 2
Коэффициент прохождения (коэффициент прозрачности) потенциального барьера произвольной формы (см. рисунок 2)	a, b – координаты, где частица проходит потенциальный барьер

4.2. Домашнее задание по теме «Уравнение Шредингера. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР»

На потенциальный барьер падает 1000 электронов. Коэффициент прозрачности равен 0,1. Определить, сколько электронов пройдет через барьер. В последовательную электрическую цепь включен  потенциальный барьер, на который поступает 109  электронов в секунду. Коэффициент прозрачности барьера равен 0,01. Определить ток в цепи.
На потенциальный барьер падает 2000 электронов. Коэффициент прозрачности равен 0,1. Определить, сколько электронов отразится от барьера.
Частица массы m в одномерной прямоугольной потенциальной «яме» с бесконечно высокими стенками. Определить энергию частицы в стационарном состоянии, если ширина «ямы» равна и число узлов волновой функции ψ(х) равно N.
Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной «яме» с бесконечно высокими стенками. Определить  номер уровня (квантовое число) энергии частицы, если отношение интервалов энергии до соседних уровней (верхнего и нижнего) равно η =1,4.
Частица в бесконечной потенциальной «яме» шириной в возбужденном состоянии . Определить, в каких точках «ямы» плотность вероятности нахождения частицы максимальна, а в каких минимальна.
Частица в бесконечной потенциальной «яме» шириной в основном состоянии . Определить вероятность нахождения частицы в средней трети «ямы» от до .

4.3. ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ Домашнего задания по теме «Уравнение Шредингера. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР»

№ задачи	Ответ	№ задачи	Ответ
1	100 электронов	4
2	1,6 пА	5
3	1800 электронов	6	максимальна при и  ; минимальна при ,
7	0,605

4.4. набор задач  по теме «частица в потенциальной яме»

Определить, во сколько раз увеличилась плотность вероятности обнаружения частицы, если амплитуда пси –функции увеличилась в 2 раза.
Определить, при каких энергиях микрочастицы мы не можем обнаружить ее в центре одномерной потенциальной «ямы» и почему.
Электрон находится в бесконечно высокой потенциальной яме с непроницаемыми стенками шириной . Энергия электрона 37,8 эВ. Определить номер энергетического уровня, записать собственную волновую функцию данного состояния.
Электрон находится в бесконечно высокой потенциальной яме с непроницаемыми стенками шириной . Определить наименьшую разность энергий энергетических уровней электрона (ответ дать в эВ).
Электрон находится в бесконечно высокой потенциальной яме с непроницаемыми стенками. Определить  вероятность нахождения электрона  на втором () энергетическом уровне в области .
Определить, при какой ширине одномерной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками собственная энергия электрона для первого уровня становится сравнимой с его среднеквадратичной энергией при температуре

300 К.