4.2. Уравнение Шредингера
Развивая идею де Бройля о волновых свойствах микрочастиц, Э. Шредингер сопоставил их движению комплексную функцию координат и времени, которую он назвал волновой функцией и обозначил буквой 
. Такое название не случайно – волновая функция представляет собой уравнение волны де Бройля, которая сопутствует движению микрочастицы. Эта функция (
-функция) определяется так, что произведение квадрата ее модуля на элементарный объем равно вероятности нахождения частицы в этом объеме в определенный момент времени: 
. Отсюда следует:
,
т. е. квадрат модуля 
-функции численно равен плотности вероятности нахождения частицы в определенной точке пространства. Из этого следует условие, которому должна удовлетворять волновая функция (условие нормировки):
. (4.3А)
Его физический смысл вполне понятен: если в трехмерном пространстве
имеется частица, то вероятность обнаружить ее там равна единице (вероятность достоверного события).
Волновая функция позволяет найти все характеристики движения нерелятивистской микрочастицы (координату, энергию, импульс) и является решением дифференциального уравнения в частных производных второго порядка:
. (4.4)
Здесь 
– масса частицы, 
– мнимая единица, 
– оператор Лапласа, 
– скалярная функция координат и времени. Ее градиент определяет силу, действующую на частицу: 
. Если эта функция не зависит от времени, она представляет собой потенциальную энергию частицы.
Уравнение Шредингера в квантовой механике играет роль, аналогичную уравнению
(4.5)
в механике Ньютона. Иначе говоря, эти уравнения позволяют последовательно решить основную задачу механики: по известным силам, приложенным к частице, и начальным значениям ее координат и импульса найти координату частицы в любой момент времени. В отличие от уравнения (4.5) уравнение Шредингера является волновым. Это означает, что ему удовлетворяет функция, которая представляет собой уравнение волны. Это отличие обусловлено тем, что микрочастицам, относящимся к объектам исследования квантовой механики, присуща корпускулярно-волновая двойственность свойств.
Уравнение Шредингера, как и уравнение Ньютона, постулируется, а его справедливость следует из истинности тех теоретических результатов, которые получены с его помощью в атомной и ядерной физике. Выше уже отмечалось, что если силовое поле, в котором движется микрочастица, стационарно, то функция 
представляет собой потенциальную энергию частицы. В этом случае решение уравнения Шредингера распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, другой – от времени:
(4.6)
(здесь 
– полная механическая энергия частицы, которая остается неизменной в случае стационарного силового поля). Для того чтобы получить уравнение Шредингера для стационарного случая, подставим функцию (4.6) в (4.4):
, 
, 
,
(4.6А)
(волновую функцию в стационарном уравнении принято обозначать строчной буквой 
).
К уравнению Шредингера (4.4) можно прийти, исходя из соотношения между кинетической энергией и импульсом свободной нерелятивистской частицы, для которой 
. Для упрощения рассуждений рассмотрим одномерный случай, т. е. движение частицы вдоль оси 
. Согласно идее де Бройля, в этом случае частице нужно сопоставить волну
(4.7)
Несложно убедиться в том, что это уравнение эквивалентно обычному уравнению плоской волны
.
Действительно, по формуле Эйлера 
. Поэтому
.
Отбросив мнимую часть, имеем: 
. Понятно, что к этому уравнению мы пришли бы и в том случае, если бы в равенстве (4.7) использовали показатель экспоненциального множителя без знака «минус». Несмотря на это в квантовой механике принято записывать уравнение волны в виде (4.7). Перепишем его, выполнив элементарные тождественные преобразования:
, 
.
Продифференцируем последнее равенство по переменной 
и дважды по 
:
, (4.8)
, 
. (4.9)
Из полученных производных выразим полную энергию частицы и квадрат ее
импульса:
, 
.
Поскольку
,
имеем:
.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
