Соотношения неопределенностей типа (4.11) характерны не только для координат и импульса микрочастицы. Можно показать, что если частица находится в нестационарном состоянии, то неопределенность ее энергии 
связана с неопределенностью времени пребывания частицы в этом состоянии аналогичным соотношением 
.
4.4. Частица в потенциальной яме
Итак, в рамках квантовомеханического описания движению любой микрочастицы сопоставляется волновая функция. Если частица движется в стационарном силовом поле, ее волновую функцию можно найти, проинтегрировав стационарное уравнение Шредингера 
(здесь 
– гамильтониан частицы). В качестве примера решения задачи на отыскание собственных функций и собственных значений гамильтониана рассмотрим задачу о частице, находящейся в т. н. потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Иначе говоря, частица находится в одномерном потенциальном силовом поле, конфигурация которого показана на рис. 4.4. Стационарное уравнение Шредингера для волновой функции частицы в одномерной яме имеет вид:
. (4.20)
Поскольку на стенках ямы и за ее пределами потенциальная энергия
Рис. 4.4
бесконечно велика, вероятность найти там частицу равна нулю. Из вероятностного смысла волновой функции следует, что это соответствует условиям
. (4.21)
В области 
потенциальная энергия частицы равна нулю, поэтому уравнение (4.20) упрощается:
.
Если ввести обозначение 
, получим уравнение
;
его решение имеет вид:
. (4.21А)
Для того чтобы найти параметры 
и 
, воспользуемся граничными условиями (4.21). При 
имеем: 
. Мы не можем полагать, что 
, поскольку в этом случае в любой области значений 
волновая функция равна нулю. Поэтому из равенства 
следует, что 
. Если же 
, имеем:
(значение 
не имеет физического смысла, поскольку в этом случае 
, т. е. яма имеет нулевую протяженность). Исключив параметр 
из уравнений
и 
, найдем собственные значения энергии:
, 
. (4.22)
Таким образом, энергия частицы в потенциальной яме может принимать только строго определенные значения, т. е. энергия частицы представляет собой квантованную величину. На языке квантовой механики это означает, что частица может находиться только на определенных энергетических уровнях. Число 
, от которого зависит значение энергии, называется главным квантовым числом.
Далее найдем промежуток между соседними энергетическим уровнями. Из равенства (4.22) следует, что
. (4.23)
Пусть масса частицы равна примерно массе молекулы (
кг), 
м. Можно сказать, что мы рассматриваем молекулу газа в сосуде диаметром 10 см. В этом случае по формуле (4.23) получается, что 
(Дж). Очевидно, при таком малом значении 
можно считать, что возможные значения энергии частицы образуют практический непрерывный (квазинепрерывный) спектр. Аналогичный результат получается, когда в потенциальной яме такой же протяженности рассматривать электрон (в таких условиях находятся свободные электроны в металлических проводниках). Если же объем, в котором находится электрон, имеет размеры порядка атомных, то
(Дж)
(эВ),
т. е. дискретность возможных значений энергии очевидна.
Собственные функции частицы найдем, подставив в решение (4.21А) 
:
.
Для нахождения коэффициента 
воспользуемся условием нормировки (4.3А), которое в рассматриваемом случае одномерной ямы имеет вид:
.
Поскольку из этого условия получается, что 
, то
.
Если 
,
.
Период этой функции:
.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
