Тема 4. элементы квантовой механики 4.1. Корпускулярно-волновая двойственность свойств вещества (стр. 6 )

Если  ,

                                       .

Примерные графики этих функций, а также квадратов их модулей приведены на рис. 4.5. Поскольку квадрат модуля волновой функции характеризует

       

                                               Рис. 4.5

вероятность обнаружить частицу в рассматриваемой области пространства, на рис. 4.5,б видно, что при  вероятность максимальна в центре ямы. Если же  , вероятность обнаружить частицу в середине ямы минимальна, однако она максимальна в точках левее и правее середины.

       Таким образом, поведение микрочастицы, находящейся в потенциальном силовом поле, в рамках квантовомеханического рассмотрения коренным образом отличается от поведения этой же частицы при классическом описании. Прежде всего это касается энергии: ее возможные значения для квантовой частицы образуют дискретный ряд чисел, хотя классическая частица может принимать любые значения энергии. Во-вторых, для квантовой частицы мы можем вычислить лишь вероятность ее пребывания в определенной точке пространства, в то время как классическая частица движется по вполне определенной  траектории.

       В заключение рассмотрим зависимость от квантового числа характера расположения энергетических уровней микрочастицы в потенциальной яме.  Согласно равенству (4.23),

                                       .

Полагая  квантовое число непрерывной величиной, найдем предел отношения :

                                       ,

т. е. по мере увеличения квантового числа происходит сближение соседних значений энергии. При  дискретные энергетические уровни сливаются, и микрочастица может принимать любые значения энергии. Иначе говоря, при бесконечно больших значениях  , соответствующих движению макрочастицы, результаты квантовой теории  совпадают с выводами теории классической. В этом находит свое выражения принцип соответствия, согласно которому любая новая теория, обобщающая прежнюю теорию, содержит ее как предельный случай.

4.5. Квантование момента импульса. Гармонический осциллятор

       Далее рассмотрим собственные значения операторов квадрата момента импульса частицы и  его проекций на координатные оси. Оказывается, что в рамках квантовомеханического описания одновременно могут иметь определенные значения лишь квадрат момента импульса и одна из его проекций; две другие проекции при этом не имеют определенного значения. Из этого следует, что в квантовой механике вектор момента импульса не имеет определенного направления и поэтому не может быть изображен направленным отрезком прямой.

       Для того чтобы найти значения квадрата момента импульса  частицы, необходимо решить уравнение  , где  – оператор квадрата момента импульса,  – собственная функция гамильтониана частицы. Решение этого уравнения весьма громоздко, поэтому мы ограничимся рассмотрением конечных результатов. 

       Для собственных значений оператора  получается следующая формула: , где  – орбитальное квантовое число. Следовательно, модуль момента импульса может иметь лишь дискретные численные значения: . Проекция момента импульса также имеет дискретные значения:

                                       ,                                                (4.24)

где  – магнитное орбитальное квантовое число. Поскольку проекция момента импульса на определенное направление не может быть

больше его модуля, должно выполняться условие

                                       .                                        (4.25)

Следовательно, максимально возможное значение  .        Из сопоставления формул (4.24) и (4.25) получается, что если модуль момента импульса имеет ненулевое значение, то  . Это означает, что направление момента импульса частицы никогда не совпадает с направлением, выделенным в пространстве. Это соответствует тому, что, как уже отмечалось, определенное значение имеет лишь одна проекция вектора момента импульса. Поскольку  , из равенства  (4.24) следует, что для определенного значения (т. е. для определенного значения момента импульса) существует  возможных значений проекции момента импульса на выделенное направление. Иначе говоря,  вектор момента импульса может иметь лишь строго определенную ориентацию относительно направления, выделенного в пространстве (в квантовой механике это называется пространственным квантованием).

       Гармоническим осциллятором в квантовой механике называется микрочастица, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы  . Как известно, потенциальная энергия такой частицы ,  частота собственных колебаний  . Из последнего равенства следует, что , поэтому . В таком случае стационарное уравнение Шредингера для волновой функции осциллятора имеет вид:

                               .

Из решения этого уравнения следует, что полная механическая энергия осциллятора является дискретной величиной, зависящей от квантового числа  :

                               ,  .

Наименьшая энергия, которой может обладать осциллятор при  , называется нулевой. Существование нулевой энергии, которая представляет собой чисто квантовое явление, подтверждается в экспериментах по рассеянию света на колебаниях атомов кристаллов  при сверхнизких температурах. Оказывается, что интенсивность рассеянного света при понижении температуры стремится не к нулю, но к некоторому наименьшему значению.  Это указывает на то, что даже при  колебания атомов полностью не прекращаются.

       Существование нулевой энергии колебаний согласуется с принципом неопределенности. Действительно, если существует неопределенность координаты атома, неизбежно существует соответствующая неопределенность его импульса. Из этого следует, что скорость частицы всегда отлична от нуля, даже при  .