4.6. Туннельный эффект
Далее рассмотрим конкретное физическое явление, которое имеет квантовомеханическую природу и называется туннельным эффектом.
Пусть частица движется вдоль оси 
слева направо и попадает в потенциальное силовое поле следующей конфигурации: на промежутке 
энергия 
, на промежутке 
(рис. 4.6). Иначе
Рис. 4.6.
говоря, движущаяся частица встречает на своем пути одномерный прямоугольный потенциальный барьер высотой 
. Согласно классическим представлениям, если энергия частицы 
больше высоты барьера, она беспрепятственно преодолевает его. При этом, поскольку полная механическая энергия частицы сохраняется, ее скорость на промежутке 
уменьшается, а за пределами барьера принимает прежнее значение. Если же 
, частица отражается от барьера и движется в обратную сторону.
В рамках квантовомеханического описания частица ведет себя совершенно по-другому. Для того чтобы разобраться в этом, прежде необходимо познакомиться с принципом суперпозиции состояний, который является одним из основополагающих принципов квантовой физики.
Пусть система частиц характеризуется некоторой физической величиной 
. Оператор этой величины имеет собственные функции 
, которым соответствуют собственные значения 
. Согласно принципу суперпозиции, состояние системы частиц описывается волновой функцией
. (4.26)
Квадраты модулей коэффициентов 
численно равны вероятности пребывания системы в соответствующем состоянии. Например, 
– это вероятность того, что в момент проведения измерения система находилась в состоянии, которому соответствует волновая функция 
и численное значение 
. Вместе с тем система может находиться и в другом состоянии, вероятность которого определяется соответствующим коэффициентом. Важно осознавать то, что в определенный момент времени система находится только в одном из возможных состояний, а соответствующий коэффициент 
дает вероятность того, что система «выбрала» именно его. Поскольку суммарная вероятность всех возможных состояний равна единице, коэффициенты в равенстве (4.26) должны удовлетворять очевидному условию:
.
Зная волновые функции различных состояний и соответствующие коэффициенты, можно найти среднее значение величины 
:
.
Как уже отмечалось, «поведение» квантовой частицы, проходящей потенциальный барьер, существенно отличается от поведения частицы классической. Во первых, даже при 
имеется ненулевая вероятность того, что квантовая частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону. Во-вторых, при 
существует отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет через барьер и окажется в области 3. Такое «поведение» частицы, совершенно невозможное с точки зрения классической физики, непосредственно следует из уравнений Шредингера.
Рассмотрим случай 
. В областях 1 и 3, где 
, стационарное уравнение Шредингера имеет вид:
. (4.26А)
В области 2 потенциальная энергия частицы равна 
, поэтому уравнение Шредингера запишется следующим образом:
. (4.27)
Решение уравнения (4.26А) имеет вид
, (4.28)
где 
– корни характеристического уравнения. Для того, чтобы получить его, продифференцируем равенство (4.28) дважды, подставим в (4.26А) и выполним тождественные преобразования:
.
Найдем корни характеристического уравнения:
, 
.
Общее решение уравнения (4.26А) в области 1 и 3: 
,
(здесь 
– соответствующие константы интегрирования). Рассуждая по аналогии, находим решения уравнения (4.27) для области 2:
, 
.
Понятно, что функции 
, 
и т. п. соответствуют дебройлевским волнам, распространяющимся вдоль оси 
и в противоположном направлении. Поскольку в области 3 имеется только волна, движущаяся вправо, коэффициент 
. Для определения остальных констант воспользуемся условием непрерывности и гладкости волновой функции:
. (4.29)
Производные функций 
:
.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
