Если в последнем равенстве сделать замену  , умножить обе его части на  и выполнить тождественные преобразования, то мы придем к уравнению  (4.4) для одномерного случая:

                                       .

Необходимо подчеркнуть, что приведенные выше рассуждения нельзя рассматривать как вывод уравнения Шредингера. Они подтверждают лишь, что это уравнение удовлетворяет  соотношению между энергией нерелятивистской частицы и ее импульсом.

       В математическом аппарате квантовой механики широко используются операторы различных физических величин – энергии, момента импульса и т. п. Под оператором понимается символическая запись совокупности математических операций, которые нужно выполнить над одной функцией для того, чтобы получить другую функцию (примером могут служить оператор набла и оператор Лапласа). Если в уравнении Шредингера  (4.6А)  функцию рассматривать как оператор, действие которого на  -функцию сводится к умножению ее на  , то этому уравнению можно придать более компактный вид:

                                       .                                         (4.10)

Здесь

                                       

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

представляет собой оператор  полной энергии частицы, который принято назвать гамильтонианом (в квантовой механике операторы обозначаются буквами со шляпкой).  Проинтегрировав уравнение (4.10), можно найти набор волновых функций, удовлетворяющих этому уравнению, и численные значения величины  – полной энергии частицы. Волновая функция должна удовлетворять следующим условиям:

       – она должна быть гладкой (непрерывно дифференцируемой);

       – она должна быть интегрируемой, т. е. несобственный интеграл от квадрата модуля волновой функции по всему трехмерному пространству должен сходиться. Все функции, удовлетворяющие уравнению (4.10), называются собственными функциями гамильтониана, а все значения полной энергии– его собственными значениями.

       Решение квантовомеханической задачи на отыскание значений  какой-либо физической величины (например – момента импульса частицы) проводится  следующим  образом.  Вначале нужно составить и проинтегрировать уравнение вида (4.10) и найти собственные функции гамильтониана частицы. Для момента импульса в квантовой механике используются четыре оператора: оператор квадрата момента импульса  и операторы  проекций момента импульса на координатные оси (). Для того чтобы найти собственные значения любого их четырех операторов, например – , необходимо проинтегрировать уравнение, аналогичное (4.10): (здесь  – собственная функция гамильтониана частицы).  Собственные значения оператора  , найденные в результате решения этого уравнения, и есть возможные значения квадрата момента импульса.

4.3.  Соотношения неопределенностей

       Корпускулярно-волновая двойственность свойств микрочастиц и вероятностный смысл волновой функции, определяющей их состояние, приводит к весьма важному вопросу о границах применимости понятий классической физики в микромире. Специфика микрочастиц проявляется в том, что переменные, характеризующие ее состояние (координата и импульс), могут быть измерены одновременно лишь с определенной точностью. При этом неопределенность (неточность) измерений обусловлена не только погрешностью измерительного прибора; согласно принципу, сформулированному Гейзенбергом, произведение неопределенности координаты частицы и проекции ее импульса на эту же координатную ось не может быть меньше постоянной Планка  :

                               , ,  .                        (4.11)

Этот принцип получил название принципа неопределенности, формулы (4.11) – соотношениями  неопределенностей Гейзенберга. Эти формулы можно получить, основываясь на неравенстве, свойственном всем волновым процессам.

       Для того чтобы прийти к этому неравенству, вспомним, что цуги электромагнитных волн, испускаемые атомами вещества, имеют ограниченную протяженность в пространстве, что связано с конечной длительностью процессов испускания. Поскольку среднее время жизни атомов в возбужденном состоянии  ~10-9…10-8 с, протяженность  волнового цуга, распространяющегося вдоль оси  в вакууме, равна  и составляет  ~0,3…3 м.  Вследствие ограниченной протяженности волновой цуг не может быть монохроматическим (по определению, монохроматической может быть лишь волна, имеющая бесконечную протяженность и неизменную амплитуду).  При изучении упругих волн уже отмечалось, что используя методы гармонического анализа, волновой цуг можно представить в виде волнового пакета – суперпозиции монохроматических волн, частоты которых имеют значения в промежутке  .  Здесь  – центральная частота пакета, – его спектральная ширина, зависящая от протяженности цуга. Можно показать, что . Поскольку , имеем:

                                .                                (4.12)

Если волновой цуг распространяется вдоль оси  ,  то

                               .                        (4.13)

Сделав в неравенстве (4.12) замену (4.13), получим:

                                .                                (4.14)

Последнее неравенство и есть искомое соотношение, свойственное всем волновым процессам. В случае волны де Бройля для частицы с импульсом  ,  движущейся вдоль оси , имеем:

                               ,  .

Из последнего равенства с учетом соотношения (4.14) имеем:        

                                       .                                 (4.14А)

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8