Тема 4. элементы квантовой механики 4.1. Корпускулярно-волновая двойственность свойств вещества (стр. 4 )

Рассматривая движение микрочастицы вдоль осей  и  ,  по аналогии можно получить остальные неравенства, входящие в (4.11).

       В приведенных выше рассуждениях соотношения неопределенностей были получены с использованием неравенства (4.14), справедливого для любых волновых процессов. К неравенству вида (4.14А) можно прийти, рассматривая дифракцию дебройлевской волны. Предположим для этого, что параллельный пучок микрочастиц движется в направлении, перпендикулярном оси  . Поместим на пути их движения плоскость с прямоугольной щелью шириной  (рис. 4.2). В  момент ее прохождения

               

                                               Рис. 4.2

дебройлевская волна дифрагирует,  при этом направление на дифракционные минимумы первого порядка определяется  условием

.                                (14.15)

Следовательно, некоторые частицы будут двигаться в пределах дифракционного максимума нулевого порядка с угловой шириной  .

На рис. 4.2  видно, что в момент прохождения щели возникает неопределенность импульса таких частиц ; неопределенность координаты при этом совпадает с шириной щели  . С учетом равенства (4.15) находим, что

                                       .

Поскольку        , имеем:

                                       ,

что не противоречит неравенству (4.14А).

       Соотношения неопределенностей указывают, в какой мере можно пользоваться понятиями классической физики применительно к микромиру, в частности – с какой степенью точности можно говорить о траектории движения микрочастиц.  Движение по определенной траектории  характерно тем, что координата и импульс частицы имеют вполне определенное значение в любой момент времени. Поскольку для нерелятивистской частицы  , неравенство (4.14А) примет вид:

                                       .

Следовательно, чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности координат и скорости, тем с большей точностью можно характеризовать движение частицы траекторией. Численные оценки показывают, что уже для частицы размером порядка 1 мкм неопределенности и  оказываются за пределами точности современной измерительной аппаратуры. Исходя из этого можно считать, что такие частицы движутся по вполне определенной траектории. В некоторых условиях это справедливо даже по отношению к электрону – наиболее «легкой» из всех известных микрочастиц.        В качестве примера оценим неопределенность координаты и импульса электрона, движущегося в электронно-лучевой трубке длиной 10 см. 

       Пусть след параллельного пучка электронов на люминесцирующем экране  ЭЛТ имеет радиус порядка 1 мм  (рис. 4.3). Тогда                                                                         .

                               

                                               Рис. 4.3

Если ускоряющее напряжение  10 кВ, имеем:

       =4,4∙10-23 Н∙с,  4,4∙10-23∙ 0,01=4,4∙10-25 Н∙с.

В соответствии с (4.14А)  ,  нм. Следовательно, движение электрона в ЭЛТ практически неотличимо от движения по определенной траектории.

       Соотношение неопределенностей представляет собой один из фундаментальных принципов квантовой механики. Фундаментальность его проявляется в том, что использование лишь одного этого принципа позволяет получить ряда важных результатов, относящихся к физике атома. В частности, соотношение неопределенностей позволяет объяснить следующий совершенно непонятный факт: почему электрон в атоме под действием кулоновской силы притяжения не падает на ядро? Дело здесь в том, что если бы это случилось, то координата и импульс электрона имели бы совершенно определенные значения, что противоречит принципу неопределенности.

       Соотношения неопределенностей позволяют оценить размер атома водорода и величину минимальной энергии его электрона, состоящей из энергии орбитального движения и взаимодействия с ядром:

                                                                                (4.16)

(здесь  – расстояние от электрона до ядра).  Если в качестве меры неопределенности координаты взять величину , неравенство (4.14А) примет вид:

                                       .                                                (4.17)

Из равенства (4.16) следует, что энергия электрона имеет наименьшее значение при и  . Поэтому в качестве неопределенностей координаты и импульса можно взять их значения, т. е. ,  . С учетом этого перепишем (4.17) в виде равенства и выразим из него импульс электрона:

                                       .                                        (4.18)

Далее сделаем в (4.16) замену (4.18) и исследуем полученную функцию на минимум:

               ,  .  (4.19)

Легко видеть, что эта формула совпадает с формулой для радиуса орбиты

электрона в основном состоянии, полученной в теории Бора.  В данном случае мы пришли к равенству (4.19), основываясь только на соотношении неопределенностей. Для получения этого же результата в полуклассической теории Бору пришлось вводить постулаты о стационарных состояниях и условие квантования момента импульса электрона. Сделав в (4.16) замену (4.19),  получим формулу для минимальной энергии электрона, совпадающую с соответствующей формулой  теории Бора.