Конспект лекций междисциплинарного курса МДК.01.04 Математические методы разработки алгоритмов профессионального модуля ПМ.01 Разработка программных модулей программного обеспечения для компьютерных систем (стр. 10 )

с помощью левых разностей;

  (5.4)

с помощью правых разностей;

  (5.5)

с помощью центральных разностей.

Можно найти также выражения для старших производных:

  (5.6)

Таким образом, используя формулу (5.2), можно найти приближенные значения производных любого порядка. Однако при этом остается открытым вопрос о точности полученных значений.

6. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений 6.1.Постановка задачи

Вспомним основные понятия дифференциальных уравнений [1–5]. Дифференциальные уравнения делят на два класса: обыкновенные, содержащие одну независимую переменную (очень часто это время) и производные по ней, и дифференциальные уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных  и частные производные по ним. В данной главе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значение зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Например, дано дифференциальное уравнение

               (6.1)

и начальное условие

       .         (6.2)

Необходимо найти функцию, удовлетворяющую как уравнению, так и начальному условию. Очень часто независимой переменной в  является время, а условие  представляет значение искомой функции в начальный момент времени. Например, движение материальной точки, падающей под действием силы тяжести (без учета сопротивления воздуха), описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка

,

где — расстояние точки от начала отсчета, — ускорение силы тяжести.

В начальный момент времени известны расстояния точки от начала отсчета и начальная скорость точки .

Если дополнительные условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то задача называется краевой. Обычно условия задаются в двух точках — краях отрезка и задача называется двухточечной. В краевой задаче дополнительные условия называются граничными условиями. Например, стационарное распределение температуры в тонком стержне длины описывается уравнением

,

,

где — температура стержня, — коэффициент теплопроводности, – коэффициент теплообмена, — плотность внутренних источников тепла, –  температура окружающей среды. На концах стержня задаются граничные условия первого рода ,  . На границах стержня возможны также граничные условия второго рода (условия Неймана) и условия третьего рода .

8.2. Одношаговые методы решения задачи Коши 6.2.1. Метод Эйлера

В одношаговых методах решение в новой точке получается из одного решения в предыдущей точке. Одношаговые методы предназначены для решения дифференциальных уравнений вида

,         (6.3)

где , — начальное условие.

Интервал , на котором ищется решение, разобьём на ряд отрезков узлами с постоянным шагом . Представим точное решение задачи  в точке в виде ряда Тейлора с центром в точке

       ,        (6.4)

где точное решение в точке .

По правилу дифференцирования функций многих переменных, получаем

       

       

Отбросив в  остаточный член, получим (означает )

               (6.5)

По формуле  можно, последовательно исходя из , вычислить и т. д. Например, ограничиваясь производными первого порядка, получаем одношаговый метод

Однако вычисление производных от может представлять весьма сложную задачу. Метод, основанный на применении ряда Тейлора, малоприменим, т. к. требует вычисления большого числа частных производных. Практически берут , тогда получается формула метода Эйлера (Euler).

       .        (6.6)

Мы обозначили через и точные значения решения и функции правой части в точке , а через и — значения, полученные по методу Эйлера.

Погрешность аппроксимации (равна величине отброшенного остаточного члена) для метода Эйлера имеет порядок . Это так называемая локальная ошибка. За шагов образуется глобальная ошибка порядка [3, 7] и именно она определяет ошибку решения уравнения. То есть метод Эйлера является методом первого порядка.

Из геометрической интерпретации метода Эйлера (рис. 6.1) видно, что при нахождении используется— тангенс угла наклона каса­тельной к кривой решения в точке . Очевидно, что угол наклона будет опре­делен приближенно, и возникает ошибка (на рис. 8.1 ). Кривая решения заменяется ломаной линией — ломаной Эйлера.