Метод Эйлера для решения системы вида (6.17) имеет вид
. (6.19)
Покоординатная запись выражения (6.19) имеет вид
При решении системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты используются те же формулы (6.16), что и для одного уравнения, но скаляры 
заменяются на векторы 
, функция 
– на вектор-функцию 
и т. д.
Абсолютная погрешность 
одношаговых методов по сравнению с неизвестным точным решением может быть оценена по правилу Рунге [2]
, (6.20)
где 
— решение уравнения с шагом 
; 
— решение с шагом 
; 
— порядок метода (для метода Эйлера 
, для метода Рунге-Кутты 
), 
— номера узлов, совпадающих в расчетах с шагом 
и 
(при использовании шага 
берутся нечетные узлы).
Правило Рунге используется для адаптивного выбора шага интегрирования. На каждом шаге интегрирования при переходе от 
к 
вычисления производят дважды: с шагом 
и 
(рис. 6.2). Соответственно получаются два значения 
и 
, соответствующие 
.
Рис. 6.2. Вычисления при оценке погрешности по правилу Рунге
Если 
, вычисленная по, больше заданной величины 
, то шаг уменьшается вдвое и процедура повторяется. Если 
значительно меньше 
, то шаг увеличивается вдвое и процедура повторяется. Если 
соизмерима с 
, то шаг не изменяется.
Если решается система уравнений, то оценка по правилу Рунге имеет вид
,
где 
— кубическая норма разности векторов решений, полученных с шагом 
и 
(при использовании шага 
берутся нечетные узлы).
Заключение
Конечные формулы, описывающие тот или иной численный метод, зачастую выглядят странно, не вызывая ощущения их связности с исходной задачей. У непосвященного человека они могут вызвать недоумение, непонимание и реакцию «Зачем решать задачу так сложно? Я сделаю по-своему, намного проще и очевиднее». И решение несложной задачи, например, взятие определенного интеграла, которое надлежащим выбором метода вычислений делается за доли секунды, растягивается на часы из-за метода левых прямоугольников. Если Вы ощутили на практике магию конечного результата и простоту построений методов вычислений, подобных ошибок у Вас не будет ни при самостоятельной реализации численных методов, ни при использовании готовых решений в виде математических пакетов. В этом случае цель настоящего пособия достигнута.
Литература
Калиткин, методы: учеб. пособие для вузов / . – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 508 с. Денисова, вычислительной математики: учеб.-метод. пособие / , . – СПб.: НИУ ИТМО, 2010. – 164 с. Бахвалов, методы. Решение задач и упражнения: учеб. пособие / , , . – М.: Дрофа, 2009. – 393 с. Вержбицкий, линейная алгебра / . – М.: Высш. шк., 2009. – 351 с. Гладких, в численные методы: учеб.-метод. пособие / , . – Елец: Изд. ЕГУ им. , 2008. – 140 с. Амосов, ные методы / , Ю. А. Дубинский, . – 3‑е изд., перераб. и доп. – М.: Издат. дом МЭИ, 2008. – 672 с. Чивилихин, методы в технологиях программирования. Элементы теории и практикум / . – СПб.: СПбГУИТМО, 2008. – 108 с. Волков, методы / . – СПб.: Лань,2008. – 256 с. Вержбицкий, методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения) / . – М.: "ОНИКС 21 век", 2005. – 432 с. Формалев, методы / , . – М.: Физматлит, 2004. – 400 с.
Интернет-ресурсы
Образовательный математический сайт. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www. exponenta. ru/ Сайт Константина Полякова. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://kpolyakov. spb. ru/index. htm
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
