Сложение и вычитание матриц (векторов)

Результат сложения (вычитания) матриц (векторов) одинакового размера  n x m (A) и (B) (число столбцов и строк матриц должны совпадать) есть матрица (C) размера n x m, каждый элемент которой равен сумме (или разности) соответствующих элементов матиц (A) и (B):

Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов одинаковой длины n называется сумма парных произведений соответствующих компонентов вектора:

Матричное произведение

Произведением матриц (A) размером n x m и (B) размером m x l называется матрица (C) размером n x l, такая что элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца cij  равен скалярному произведению i-ой строки матрицы (A) и j-ого столбца матрицы (B):

Умножим две матрицы, элементами которых являются числа

Руководствуясь приведенным правилом, нетрудно убедиться в том, что   [А][В] ≠ [B][A], т. е. результирующая матрица зависит от последовательности расположения матриц сомножителей.

Обращение матрицы

Матрицей, обратной матрице (А) размера (n x n) называется такая матрица   (А)-1 размера (n x n), что при перемножении этих матриц в любом порядке получается единичная диагональная матрица:

Здесь (1) – это единичная диагональная матрица размера (n x n) – все элементы которой равны 0, за исключением диагональных, которые равны 1.


4.3. Системы линейных алгебраических уравнений

Систему из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными   x1, x2, ..., xn в общем случае принято записывать следующим образом:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

где аij и bi – произвольные константы. Число неизвестных n  называется порядком системы.

Решением СЛАУ является такая совокупность значений переменных   х1, х2,…, хn,  которая одновременно обращает все уравнения системы в тождество.

Необходимым и достаточным условием существования и единственности решения системы уравнений является линейная независимость уравнений. Или, более точно, неравенство нулю определителя, составленного из коэффициентов системы уравнений:

Эквивалентной (и весьма удобной) записью системы линейных уравнений является матричная запись

или сокращенно

,

в чем легко убедиться, если воспользоваться правилами перемножения матриц: элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы-результата есть скалярное произведение i-й вектор-строки первой матрицы и j-го вектор-столбца второй матрицы.

Коэффициенты при неизвестных образуют квадратную матрицу A размером n x n, переменные и свободные члены уравнений – векторы-столбцы (X) и (B) длиной n.

Решение  СЛАУ есть вектор (X*), который обращает это матричное уравнение в тождество:

Для решения систем линейных алгебраических уравнений применяются точные (прямые) методы, в которых количество арифметических операций, необходимых для нахождения решения, точно определяется порядком системы и итерационные (приближенные) методы, в которых проводится пошаговое, итерационное уточнение решения.

Оценить близость какого-либо вектора (Х)i к решению системы уравнений можно оценив близость вектора невязок к нулевому вектору:

Для выражения меры близости в виде числа используется какая-либо норма вектора, например, евклидова норма или длина вектора в n-мерном пространстве (другое определение – это корень квадратный из скалярного произведения вектора на себя):

Иногда используются другие векторные нормы: норма-максимум (равна наибольшей по абсолютной величине компоненте вектора)

или норма-сумма (равна сумме абсолютных величин компонентов вектора)

4.4. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений

Численное решение СЛАУ является часто решаемой задачей в рамках математического моделирования. При этом как размерность задачи, так и характер матриц может существенно меняться. Вычисления, проводимые с определенной точностью, также оказывают влияние на результат решения СЛАУ. Кроме того, сами коэффициенты системы – матрица (А) и свободные члены – (В) могут быть представлены с определенной погрешностью.

Приведем такой пример:

Система уравнений

имеет, как нетрудно убедиться подстановкой, единственное решение x = 1, y = 1.

Предположим, что при подготовке системы к решению, правая часть первого уравнения была определена с небольшой абсолютной погрешностью в +0.01, то есть, правая часть первого из уравнений вместо 11 была взята равной 11.01.

Единственным решением этой системы уравнений уже будет вектор x=11.01,  y=0.

Как нетрудно убедиться, в этом случае погрешность определения значений переменных оказывается существенно больше, чем погрешность коэффициента. Задачи, в которых малое изменение исходных параметров кардинально сказывается на результате, называются плохо обусловленными.


4.5. Прямые методы решения СЛАУ


4.5.1. Метод Гаусса

Алгоритм решения заключается в приведении расширенной матрицы системы уравнений к треугольному виду (метод Гаусса) или псевдодиагональному виду (метод Гаусса-Жордана).

Рассмотрим метод Гаусса (схему единственного деления) решения системы уравнений. Прямой ход состоит из m-1 шагов исключения.

Шаг 1. Исключим неизвестное из уравнений с номерами i = 2,3,..m. Предположим, что . Будем называть его ведущим элементом 1-го шага.

Найдем величины , i=2,3,...m, называемые множителями 1-го шага. Вычтем последовательно из второго, третьего, ...m vго уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на . В результате 1-го шага получим эквивалентную систему уравнений:

Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной k-ый шаг. Предположим, что ведущий элемент . Вычислим множители k-го шага:, i=k+1,...m и вычтем последовательно из (k+1)-го, ...m - го уравнений системы k-ое уравнение, умноженное соответственно на . После  (m-1)-го шага исключения получим систему уравнений, матрица которой является верхней треугольной:

На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим . Подставляя найденное значение в предпоследнее уравнение, получим . Далее последовательно находим неизвестные .

В методе Гаусса для вычисления масштабирующих множителей требуется делить на ведущие элементы каждого шага. Если элемент равен нулю или близок к нулю, то возможен неконтролируемый рост погрешности. Поэтому часто применяют модификации метода Гаусса, обладающие лучшими вычислительными свойствами.

Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу (схема частичного выбора). На k-ом шаге прямого хода в качестве ведущего элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент при неизвестной в уравнениях с номерами i = k+1, ... , m. Затем уравнение, соответствующее выбранному коэффициенту с номером , меняют местами с k-ым уравнением системы для того, чтобы главный элемент занял место коэффициента . После этой перестановки исключение проводят как в схеме единственного деления. В этом случае все масштабирующие множители по модулю меньше единицы и схема обладает вычислительной устойчивостью.

4.5.2. Метод LU-разложения

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12