Конспект лекций междисциплинарного курса МДК.01.04 Математические методы разработки алгоритмов профессионального модуля ПМ.01 Разработка программных модулей программного обеспечения для компьютерных систем (стр. 11 )

Рис. 6.1. Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Известно несколько модификаций метода Эйлера, в которых точнее определяется тангенс угла наклона касательной. Например, в методе Эйлера-Коши с итерациями на каждом шаге вычисляется начальное значение (как в обычном методе Эйлера)

       ,        

затем решение уточняется с помощью итерационной формулы

,

где — номер итерации.

Итерации проводят до тех пор, пока не выполнится условие

               

где — заданное значение.

Обычно достаточно проделать 3–4 итерации. Погрешность метода имеет порядок .

6.2.2. Методы Рунге-Кутты

Среди одношаговых методов наибольшее распространение получили методы Рунге-Кутты (Runge‑Kutta). Методы строятся по общей формуле

       .        (6.7)

Функция должна приближать отрезок ряда Тейлора (6.4) с точностью , но не содержать трудновычислимых производных функции .

Метод Рунге-Кутты первого порядка () – это метод Эйлера, т. к. используются только значения .

Выведем формулы для метода Рунге-Кутты второго порядка (). Представим функцию в виде

       ,        (6.8)

где — константы, которые необходимо определить из сравнения с рядом Тейлора.

В (6.8) вычисляется как взвешенное среднее значение , вычис­ленное в двух точках. Для определения разложим второе слагаемое в (6.8) в ряд Тейлора с центром в точке до членов порядка , тогда

               (6.9)

Подставляя (6.9) в (6.7), получим

.        (6.10)

Соответствующий отрезок ряда Тейлора  (6.5) имеет вид

       .        (6.11)

Сравнивая (6.10) и (6.11), получаем систему из трех уравнений

               (6.12)

Из трех уравнений (6.12) необходимо найти четыре параметра. Удобные расчетные формулы получаются, если принять

Тогда (6.7) запишется в виде

               (6.13)

Метод Рунге-Кутты второго порядка имеет погрешность порядка . Метод называют двухэтапным, т. к. метод требует двух вычислений функции правой части.

В общем виде s‑стадийный (s‑этапный) явный метод Рунге‑Кутты строится по следующей формуле [6]

       ,        (6.14)

где

               (6.15)

Обычно  .

Наибольшее распространение среди методов Рунге-Кутты получил четырехэтапный метод четвертого порядка точности, имеющий погрешность аппроксимации

               (6.16)

       

Метод Рунге‑Кутты четвертого порядка весьма прост, довольно эффективен, когда отрезок интегрирования не очень велик и нужна сравнительно невысокая точность.

6.2.3. Решение систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений n‑го порядка

Одношаговые методы можно применять для решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Система уравнений записывается в виде

               (6.17)

где — номер каждой зависимой переменной ; — независимая переменная.

Начальные условия имеют вид

       .        (6.18)

К системе вида (6.17) может быть сведено дифференциальное уравнение высшего порядка

с начальными условиями

       .        

Применим цепочку преобразований

Начальные условия примут вид

Таким образом, уравнение n‑порядка свелось к системе из уравнений первого порядка. Неизвестными являются .

Пример.

Уравнение с начальными условиями , , сводится к системе уравнений

с начальными условиями .

При решении одношаговыми методами систем дифференциальных уравнений вида (6.17) для каждого -го значения независимой переменной независимо друг от друга вычисляются все значения зависимых переменных . Обозначим через значение зависимой переменной , вычисленное при значении независимой переменной.