Заметим, что для погрешностей действует иное правило округления: границы погрешностей всегда округляются в сторону увеличения.

При выполнении арифметических действий с приближенными числами возникают две взаимообратные задачи:

1. По известным погрешностям входных данных оценить погрешность результата.

2. Определить точность исходных данных, обеспечивающую заданную точность результата.

Кроме того, при работе с приближенными числами необходимо согласовывать точность различных входных данных, чтобы не тратить время на выписывание ненужных и неверных цифр.

В процессе вычислений также необходимо следить за точностью промежуточных результатов.

До начала выполнения арифметических действий применяется округление, чтобы все числа, участвующие в этих действиях, были записаны с одинаковым количеством десятичных знаков. Количество оставляемых десятичных знаков определяется наименьшим числом верных цифр у исходных данных.

При сложении и вычитании приближенных чисел, имеющих одинаковое число верных цифр после запятой, округление не производится.

При сложении и вычитании приближенных чисел с различным числом верных цифр после запятой результат округляется по наименьшему числу верных цифр после запятой у исходных данных.

При умножении и делении приближенных чисел с различным числом верных цифр производится округление результата по минимальному числу верных цифр у исходных данных.

1.5. Погрешности арифметических операций

Приведём практические формулы для вычисления верхних границ абсолютной и относительной погрешностей результатов арифметических операций. Для верхней границы абсолютной погрешности суммы и разности двух чисел полагают

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

а для верхней границы относительной погрешности в случае, когда a и b являются ненулевыми числами одного знака:

где  , .

Если и , то для вычисления границ относительных погрешностей произведения и частного пользуются формулами

из которых легко следуют часто применяемые формулы для вычисления границ абсолютных погрешностей:

Если задана функция нескольких переменных   (или одной переменной в случае ), то для практического вычисления границ абсолютной и относительной погрешностей приближённого значения   пользуются формулами:

2. Приближенное решение алгебраических уравнений

Принято выделять следующие основные этапы решения задачи на компьютере:

1. Физическая постановка задачи.

2. Математическая постановка задачи. Запись физической задачи в терминах той или иной математической модели.

3. Выбор численного метода для решения поставленной задачи.

4. Реализация метода на том или ином языке программирования или с помощью того или иного пакета решения прикладных задач (Matlab, Maple, Mathcad, Excel и т. д.).

5. Проведение тестовых расчетов и сравнение с данными эксперимента.

Простая математическая модель – это совокупность алгебраических формул, по которым явно вычисляются искомые величины. Однако чаще всего поведение параметров описывается сложными алгебраическими или дифференциальными уравнениями в частных производных. Найти решение этих сложных задач можно только с использованием современных быстродействующих компьютеров.

Даже для того, чтобы воспользоваться стандартной, т. е. уже готовой программой, нужно иметь представление о существующих методах решения, их преимуществах, недостатках и особенностях использования.

Все методы решения уравнений можно разделить на два класса: точные и приближённые. В точных методах решение получают в виде формул за конечное число операций, однако их можно использовать только для решения уравнений специального вида. В общем случае задачу можно решить только приближенно. Приближенные методы позволяют получить решение в виде бесконечной последовательности, сходящейся к точному решению.

Использование компьютера выдвигает дополнительные требования к алгоритму нахождения как точного, так и приближенного решения: он должен быть устойчивым, реализуемым и экономичным. Устойчивость означает, что малые погрешности, внесенные в процесс решения, не приводят к большим ошибкам в конечном результате. Погрешности возникают из-за неточного задания исходных данных (неустранимые ошибки), из-за округления чисел, которое всегда имеет место при расчетах на компьютере, а также связаны с точностью используемого метода. Реализуемость алгоритма означает, что решение может быть получено за допустимое время. При этом надо иметь в виду, что время приближенного решения зависит от точности, с которой мы хотим получить решение. На практике точность выбирают с учетом реализуемости алгоритма на том компьютере, который предполагается использовать для решения. Экономичным называется алгоритм, который позволяет получить решение с заданной точностью за минимальное количество операций, и, следовательно, за минимальное расчетное время.

2.1. Методы решения нелинейных алгебраических уравнений с одной переменной

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

f(x)=0   (2.1)

Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия, т. е. в f(x) входит x в некоторой степени или под знаком функции.

Решить уравнение – это найти такое x* ∈ R: f(x*) = 0. Значение x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько корней.

Методы решения нелинейного уравнения (1) можно разделить на точные (аналитические) и приближенные (итерационные). В точных методах корень представляется некоторой алгебраической формулой. Например, решение квадратных уравнений, некоторых тригонометрических уравнений и т. Д.

В приближенных методах процесс нахождения решения, вообще говоря, бесконечен. Решение получается в виде бесконечной  последовательности {xn}, такой, что 

По определению предела, для любого (сколь угодно малого) е, найдется такое N, что при n > N,  |xn – x*| < е. Члены этой последовательности xn называются последовательными приближениями к решению, или итерациями. Наперёд заданное число е называют точностью метода, а N – это количество итераций, которое необходимо выполнить, чтобы получить решение с точностью е.

Существуют различные методы нахождения приближенного решения, т. е. способы построения последовательности итераций {xn}, однако все они строятся по общему принципу:

– задается начальное приближение x0;

– организуется итерационный цикл, в котором вычисляется очередное приближение к решению xk ;

– проверяется условие выхода из итерационного цикла по какому-либо критерию.

Наиболее часто используется следующий критерий остановки итерационного процесса:  

  |xn+1 – xn| < е,

т. е. разница между соседними итерациями становится малой. Также для окончания итерационного процесса можно использовать условие

|f(xn)| < е,

где f(xn) – невязка метода.

Прежде чем использовать приближенный метод, уравнение надо исследовать на наличие корней и уточнить, где эти корни находятся, т. е. найти интервалы изоляции корней. Интервалом  изоляции корня называется отрезок, на котором корень уравнения существует и единственен.

Необходимое условие существования корня уравнения на отрезке [a, b]: пусть f(x) непрерывна и f(a)f(b) < 0 (т. е., на концах интервала функция имеет разные знаки). Тогда внутри отрезка [a, b] существует хотя бы один корень уравнения f(x)=0.

Достаточное условие единственности корня на отрезке [a, b]: корень будет единственным, если f(a)⋅f(b) < 0 и f /(x) не меняет знак на отрезке [a, b], т. е. f(x) – монотонная функция, в этом случае отрезок [a, b]  будет интервалом изоляции.

Если корней несколько, то для каждого нужно найти интервал изоляции.

Существуют различные способы исследования функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ состоит в нахождении экстремумов функции f(x), исследование ее поведения при и нахождении участков возрастания и убывания функции.

Графический способ – это построение графика функции f(x) и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью x.

Табличный способ – это построение таблицы, состоящей из столбца аргумента x и столбца значений функции f(x). О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошла потеря корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно малым, а интервал изменения – достаточно большим.

Пример 2.1.1. Решить уравнение  x3  – 6x2 + 3x + 11 = 0.

Решение.

F(x) = x3 – 6x2 + 3x + 11

Найдем производную:  f/(x) = 3x2 – 12x + 3

Найдем нули производной:  f/(x) = 3x2 – 12x + 3 = 0; D = 144 – 4⋅3⋅3 = 108

X1== 0.268;

X2== 3.732;

Так как f/() > 0, то f/(x) > 0 при , f/(x) < 0 при и f/(x) > 0 при . Кроме того, f() =< 0, f() => 0. Следовательно, на интервале функция возрастает от до f(x1) = 3x12 – 12x1 + 3 = 11.39; на интервале – убывает до f(x2) = 3x22 – 12x2 + 3 = -9.39 и на интервале возрастает до , т. е. уравнение имеет три корня.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12