Конспект лекций междисциплинарного курса МДК.01.04 Математические методы разработки алгоритмов профессионального модуля ПМ.01 Разработка программных модулей программного обеспечения для компьютерных систем (стр. 2 )

Появление компьютеров значительно расширило область применения этих методов. В настоящее время трудно себе представить инженера, не владеющего компьютером и методами приближённых вычислений.

Заметим, что любой компьютер способен запоминать большие, но конечные массивы чисел и производить над ними арифметические операции и сравнения с большой, но конечной скоростью. То есть машина способна выполнять очень большое, но конечное число операций. Поэтому при работе на компьютере можно использовать только те математические модели, которые описываются конечным набором чисел, и использовать только конечные последовательности арифметических действий.

Математическими моделями различных явлений служат функции, производные, интегралы, дифференциальные уравнения и т. п. При работе на компьютере эти исходные модели следует заменить такими, которые описываются конечными наборами чисел с указанием конечной последовательности действий для их обработки. Для этого функцию заменяют таблицей, определённый интеграл – суммой и т. д. Кроме того, компьютер обладает конечной памятью и может оперировать с числами конечной длины, поэтому промежуточные результаты округляются. В результате этого даже точный метод с конечным числом действий становится приближенным.

Таким образом, решение, полученное численным методом, является приближенным.

Причинами появления погрешностей являются:

– несоответствие математической модели изучаемому реальному явлению;

– погрешность исходных данных;

– погрешность метода решения;

– погрешности округлений в арифметических и других действиях над числами.

Погрешность решения, вызванная первыми двумя причинами, называется неустранимой – она не зависит от математика.

Погрешность метода возникает потому, что численным методом, как правило, решается не исходная задача, а более простая. Кроме того, обычно численный метод основан на бесконечном процессе, который приходится обрывать на некотором шаге.

Большинство численных методов зависит от одного или от нескольких параметров. Выбор параметров метода позволяет регулировать погрешность метода.

Погрешность округлений не должна быть существенно больше погрешности метода. А погрешность метода целесообразно выбирать в 2-5 раз меньше неустранимой погрешности.

1.2. Приближенные числа

На практике часто приходится иметь дело с числами, которые выражают истинную величину не точно, а приблизительно. Такие числа называются приближенными.

Пусть – точное и, вообще говоря, неизвестное значение некоторой числовой величины, а – её приближённое значение.

Величина

называется абсолютной погрешностью приближённого числа, а в случае величина

– его относительной погрешностью.

Решение практических задач вычислительной математики сводится к нахождению оценок вида

  (1.1)

где величины  и    называются   верхними  границами соответственно абсолютной и относительной погрешностей числа (или предельными абсолютной и относительной погрешностями). Так как точные значения числовых величин не известны, то в расчётах для нахождения абсолютной и относительной погрешностей приходится пользоваться приближёнными формулами

  (1.2)

если известны верхние границы относительной и абсолютной погрешностей соответственно.

Заметим, что чисел, удовлетворяющих неравенствам (1.1) множество. Поэтому величина предельной погрешности является не вполне определённой. На практике обычно берётся по возможности меньшее значение предельной погрешности. Для каждого приближенного числа обязательно определяется его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Предельная абсолютная погрешность позволяет установить пределы, в которых лежит число a. Предельная относительная погрешность характеризует точность вычислений или измерений.

Запись чисел с абсолютной погрешностью имеет вид

,  (1.3)

с относительной –

.  (1.4)

При записи чисел должны соблюдаться следующие правила:

1. У границ погрешности принято оставлять одну, максимум две значащие цифры.

2. При записи приближённых чисел с абсолютной погрешностью количество цифр дробной части у приближённого числа и у границы абсолютной погрешности должно быть одинаковым.

Пример 1.2.1.   При решении задач вместо точного числа р = 3,14159265… мы используем его приближенное значение 3,14 и совершаем ошибку:

π - 3,14 > 0,00159265

Пример 1.2.2.   При измерении длины пути L = 10 км допущена ошибка Δ(L) = 10 м, а при измерении диаметра гайки d = 4 см допущена погрешность Δ(d) = 1 мм. Какое из этих двух измерений более точное?

Решение. Найдём предельные относительные погрешности чисел L и d.

По условию задач Δ(L) = 0,01 км, тогда δ(L) = 0,01 / 10 = 0,001 = 0,1%.

Аналогично, вычисляем: δ(d) = 0,1 / 4 = 0,025 = 2,5%.

Поскольку δ(L) < δ(d), то первое измерение является более точным.

1.3. Значащие цифры, верные и сомнительные цифры

На практике используются различные приёмы, позволяющие уже только по записи самого приближенного числа судить о его погрешности.

Запись приближенных чисел и абсолютных погрешностей подчиняется определённым правилам.

Значащими цифрами в записи приближённого числа называются все его  цифры, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 1.3.1. Приближенное число 0,38 имеет 2 значащих цифры, 0,308 – три, 0,3080 – четыре, 0,00308 – три. Значащими цифрами являются подчёркнутые цифры.

Значащая цифра называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит одной единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Значащая цифра называется верной в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

В противном случае цифра считается сомнительной.

Если приближенное число записывается без указания его абсолютной (предельной абсолютной) погрешности, то выписываются только его верные цифры. При этом верные нули на правом конце числа не отбрасывают. Числа 0,25 и 0,250 как приближенные различны. Если же мы пользуемся записями вида (1.3) или (1.4), то числа в правых частях этих равенств должны быть записаны с одинаковым количеством знаков после запятой.

Абсолютную или относительную погрешность принято записывать в виде числа, содержащего одну или две значащие цифры. При этом округление производится с избытком.

Может оказаться так, что у приближенного числа в его целой части значащих цифр больше, чем верных знаков. В этом случае используется запись в нормализованном виде a * = m·10n,  при этом число m ≤ 1 должно содержать только верные цифры. В нормализованной записи число m называется мантиссой, n –порядок числа.

Заметим, что предельная абсолютная погрешность определяется числом десятичных знаков после запятой: чем меньше десятичных знаков после запятой, тем больше Δ(a*).

Предельная относительная погрешность определяется числом значащих цифр: чем меньше значащих цифр, тем больше Δ(a*).

В то время как значение абсолютной погрешности позволяет точно определить верные цифры приближённого числа, по значению относительной погрешности можно лишь примерно определить их количество при помощи следующих утверждений.

Утверждение 1.1. Если число содержит верных цифр, то справедливо неравенство

Утверждение 1.2. Для того чтобы число содержало верных цифр, достаточно выполнения неравенства

Утверждение 1.3. Если число содержит ровно верных цифр, то

то есть .

1.4. Округление

Для записи приближенных чисел с верными цифрами применяется округление.

Точные числа также требуется округлить, если количество используемых разрядов ограничено.

Округлением называется замена одного приближённого числа другим, но с меньшим количеством значащих цифр. Различают два способа округления: округление усечением и по дополнению.

При округлении усечением производится простое отбрасывание лишних разрядов. Верхняя граница абсолютной погрешности округления усечением равна единице последнего оставляемого разряда.

При округлении по дополнению, если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то производится округление усечением; если первая отбрасываемая цифра равна 5 или больше, то к последнему оставляемому разряду добавляется единица. Верхняя граница абсолютной погрешности такого округления составляет половину последнего оставляемого разряда, то есть в два раза меньше, чем при округлении усечением.