Алгебраические системы Операции и алгебры. N-местные операции. Алгебры. Операция замыкания и подалгебры. Морфизмы: гомоморфизм и изоморфизм (стр. 2 )

Сейчас мы определим некоторые виды гомоморфизма, обладающие дополнительными свойствами.

Гомоморфизм, который является инъекцией, называется мономорфизмом.

Гомоморфизм, который является сюръекцией, называется эпиморфизмом.

Гомоморфизм, который является биекцией, называется изоморфизмом.

Таким образом, можно сказать, что изоморфизм – это взаимно однозначный гомоморфизм, то есть равенство Г(I, l1, l2, …, lki) )= Шi(Г(l1), Г(l2), …, Г(lki)), если соответствия взаимно-однозначно.

Если множества-носители двух данных алгебр равны, то их гомоморфизм называется эндоморфизмом, а изоморфизм – автоморфизмом.

Примеры:

Пусть - множество натуральных чисел, множество натуральных чётных чисел. Алгебры и изоморфны; изоморфизмом является отображение , причём условие здесь имеет вид . Поскольку , то данный изоморфизм есть изоморфизм  алгебры в себя. Рассмотрим алгебры: A=(N,+,*), B(N7,) N7 множество классов остатков (вычетов) по модулю 7, N7={K0, K1, …, K6}. Покажем, что эти алгебры гомоморфные: Г(13)=К6, Г(28)=К0, Г(13+28)=Г(41)=К6, Г(13+28)=Г(13)+Г(28)=К6+К0=К6, Г(13*28)=Г(264)=К0=Г(13)*Г(28)=К6*К0=К0 Изоморфизмом между алгебрами и является, например, отображение . . Булевы алгебры, образованные двумя различными множествами одинаковой мощности, изоморфны: операции у них просто одинаковы, а отображением может служить любое взаимно-однозначное соответствие.

Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр. Эквиваленность=рефлексивность+симметричность+транзитивность.

AA – рефлексивность, ADBA – симметричность, (A) (B C) (AC) – транзитивность.

Понятие изоморфизма является одним из важнейших понятий в математике. Его сущность можно выразить следующим образом. Если две алгебры изоморфны, то элементы и операции любой из них можно переименовать таким образом, что эти алгебры совпадут. Это позволяет, получив некоторое эквивалентное соотношение в данной алгебре, распространять его на любую изоморфную ей алгебру. Распространённое в математике выражение “с точностью до изоморфизма” означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, то есть являются общими для всех изоморфных объектов. В частности, изоморфизм сохраняет коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.

Таким образом, можно сделать вывод, что следует изучать не отдельные алгебры, а классы изоморфных алгебр.

Полугруппы.

Полугруппой называется алгебра вида с одной ассоциативной бинарной операцией . (a b) c=a (b c)=abc

Как правило, в качестве такой операции используется умножение. Поэтому результат её применения к двум различным элементам записывают в виде или , а результат неоднократного применения к одному элементу записывают в виде и так далее. Такая запись называется мультипликативной. Полугруппу часто обозначают записью .

Не следует понимать сказанное выше в том смысле, что полугруппа всегда включает в себя именно арифметическую операцию умножения. Термин “умножение” здесь является достаточно условным. Символ “” применяется именно для того, чтобы указать на это. Под символом “” может пониматься и произведение матриц или векторов, и композиция каких-либо преобразований, и даже сложение.

В общем случае, (как, например, произведение матриц), то есть данная операция некоммутативна. Если же умножение коммутативно, то полугруппа называется коммутативной или абелевой полугруппой.

Если множество-носитель полугруппы содержит такой элемент , что для любого выполняется , то этот элемент называется единицей (нейтральным элементом), а такая полугруппа называется моноидом. Легко показать, что если полугруппа содержит единицу, то она единственна. Действительно, допустим, существуют две единицы и . Тогда и , следовательно .

Пример.

а) Алгебра , где множество чётных чисел является абелевой полугруппой. Однако, очевидно, она не имеет единицы.

б) Алгебра , где множество квадратных матриц одинаковой размерности образует некоммутативную полугруппу. Причём эта полугруппа является моноидом, а роль единицы в ней выполняет единичная матрица .

в) Алгебра является коммутативной полугруппой с единицей.

Если любой элемент полугруппы можно представить в виде произведения конечного числа элементов множества , то множество называется порождающим множеством или системой образующих полугруппы, а его элементы называются образующими.