Например, в полугруппе порождающим множеством служит бесконечное множество простых чисел.

Полугруппа, которая имеет только одну образующую, называется циклической.

Можно показать, что в циклической полугруппе все элементы являются степенями (в смысле имеющейся операции) этой образующей. Например, циклической полугруппой является полугруппа , поскольку любое натуральное число – это сумма некоторого количества единиц.

Пусть полугруппа имеет конечное число образующих . Если в записи опустить обозначение операции (как это обычно делается для умножения), то все элементы полугруппы можно рассматривать как слова в алфавите . Причём некоторые различные слова могут оказаться равными, как элементы (равные элементы записаны различными словами). В коммутативной полугруппе для двух любых элементов выполняется равенство , позволяющее устанавливать равенство элементов, в том числе, записанных различными словами. Подобные равенства называются определяющими соотношениями.

Полугруппа, в которой нет определяющих соотношений, и любые два различных слова обозначают различные элементы группы, называется свободной.

Доказано, что каждую полугруппу можно получить из некоторой свободной полугруппы введением некоторых определяющих соотношений.

Свободный моноид над алфавитом А: А={a, b, c, …} A* - слова, сложенные из А, алгебра. Введем алгебраическую операцию конкатенация, которая состоит в приписывании одному слову другого.  Abba*cab=abbacab. Данная полугруппа имеет 1 – пустое слово (моноид), т. к. приписываем его справа (слева), не меняет слово.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Группы

Группой называется полугруппа с единицей, в которой для каждого элемента существует элемент , называемый обратным к элементу и удовлетворяющий условию .

Если не использовать в определении понятие полугруппы, то определить понятие группы можно следующим образом.

Множество А с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называется группой, если выполнены следующие условия:

       1) для любых трех элементов a, b, c ∈ A выполняется свойство ассоциативности:

Ассоциативность (всякая группа есть подгруппа) – (g1°g2) °g3=g1°(g2°g3)

       2) в множестве А существует такой элемент е, что для любого элемента а из этого множества выполняется равенство:

Существование единицы - eg gG (e°g=g°e=g - моноид)

       3) для любого элемента а существует элемент а-1  из этого же множества такой, что

Существование обратного элемента gg-1 (g°g-1=g-1°g=e)

Различные множества могут образовывать группу относительно какой-либо операции и не являться группой относительно другой операции.

Число элементов в множестве-носителе называется порядком группы. Группа, в которой операция коммутативна, называется коммутативной или абелевой. Группа, в которой все элементы являются степенями одного элемента, называется циклической. Для абелевых групп часто применяется аддитивная форма записи: операция обозначается, как сложение, а единица обозначается, как 0.

Существуют конечные и бесконечные группы. Если группа конечная, т. е. |G|=n, то n –порядок группы.

Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.

(a−1)-1 = a, aman = am+n, (am)n = amn. (ab)−1 = b−1a−1.

Верны законы сокращения:

, .

Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.

Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».

Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.

Примеры

а) Алгебра является абелевой циклической группой, в которой роль единицы играет 0, а роль элемента, обратного к элементу играет .

б) Алгебра , где множество рациональных чисел без нуля, является абелевой группой. Обратным к элементу является .

в) Множество невырожденных квадратных матриц порядка с определителем, отличным от нуля с операцией умножения является некоммутативной группой.

г) Множество матриц одинакового порядка с операцией сложения образует абелеву группу.

Нахождение элемента, обратного данному, в общем случае, есть унарная операция. Поэтому тип любой группы . Иногда, при записи конкретной группы указывают в скобках кроме бинарной операции ещё и эту унарную операцию, либо (чаще) нейтральный элемент группы. Например, для группы из примера а соответствующая запись имеет вид , а для группы из примера б - .

Пусть M и N – подмножества группы, т. е. MG, NG, тогда введем множество M-1, множество xG, существует hM, x=h-1, т. е. M-1={xG| hM, x=h-1}, MN={xG| h1} NM≠MN в силу некоммуникативности.

Пример группы: алгебра подстановок. Ранее мы рассматривали множество подстановок – преобразование конечного множества на себе (биекция). Это некоммунитативная группа, имеющая конечный порядок n!

Пример бесконечной группы: множество несобственных квадратных матриц данного порядка. Матрица несобственная, если определитель ее не равен нулю. Группа таких матриц некоммунитативная, бесконечная, мощностью

Рассмотрим элемент а из группы G: a0=e, аk+1=ak*a=a*ak. Порядок элемента а группы G — минимальное натуральное число n такое, что an = e. В случае, если такого n не существует, считается, что a имеет бесконечный порядок

Алгебраические структуры

Алгебры с одной бинарной операцией  – полугруппы, моноиды, группы. Алгебры с двумя бинарными операциями – кольца и поля. Решетки. Ограниченные решетки. Решетки с дополнением. Частичный порядок в решетке

Подгруппа

Подгруппа Ї подмножество H группы G, само являющееся группой относительно операции, определяющей G.

Подмножество H группы G является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

содержит произведение любых двух элементов из H, содержит вместе со всяким своим элементом h обратный к нему элемент h−1.

Более подробно это означает, что , и .

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4