Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (-g). Степени элемента g имеют вид g+g+...+g, называются кратными элемента g и обозначаются ng.
Пример: рассмотрим множество несобственных матриц – линейную группу порядка n. Рассмотрим матрицы, определители которых равны единице. 
Ln. Det (A1*A2)=detA1*detA2. Отсюда следует, что определитель произведения двух матриц из 
равен единице, поэтому 
подгруппа группы 
Пример: пример конечной подгруппы Ln: {E,-E}
Ln. Докажем, что это подгруппа. А) замкнутость относительно операций E*E=E, E*-E=-E, - E*-E=E Б) E
{E,-E}. Если условия выполняются, значит, мы имеем дело с подгруппой.
Каждая группа 
обладает единичной подгруппой 
.
Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной (нетривиальной) подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.
Сама группа G и единичная подгруппа называется несобственными (тривиальными) подгруппами группы G, все остальные Ї собственными.
Если группы существуют без подгрупп – они пустые.
Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих все элементы некоторого непустого множества M, называется подгруппой, порожденной множеством M, и обозначается < M > .
Если M состоит из одного элемента a, то < a > называется циклической подгруппой элемента a.
Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.
Если группа G1 изоморфна некоторой подгруппе H группы G, то говорят, что группа G1 может быть вложена в группу G.
Поля и кольца.
Множество R с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т. е. для любых элементов a, b и с ∈ R справедливы равенства:
Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.
Из определения следует, что любое кольцо имеет две бинарные и одну унарную операцию, поэтому его тип - 
.
Когда группа коммутативна, ее единица называется нулем кольца. Но в кольце может быть единица, т. е. нейтральный элемент по отношению к умножению. Если при этом в кольце R элементы не равны нулю и образуют относительно операции умножения группу, она называется телом. Единица этой группы называется единицей тела.
Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента a≠ 0 и любого элемента b существует единственный элемент 
такой, что ax = b.
Другими словами, для любой пары элементов 
и 
уравнение 
имеет единственный корень. Практически это определяет в поле существование операции деления.
Пример.
а) Алгебра 
является кольцом и называется кольцом целых чисел. Она, однако, не является полем, поскольку, например, уравнение 
в ней неразрешимо.
б) Алгебра 
является полем и называется полем рациональных чисел.
Все остатки от деления на натуральное число образуют кольцо, а от деления на простое число — поле.
Деление: остаток меньше модуля m, остаток (0, 1, … , m-1)
{
}=M – остаток при делении на девять.
Построим на этом множестве М алгебру 
=
Чтобы задать операцию, зададим таблицу Кэли:
Таблица Кэли — в абстрактной алгебре, таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Названа в честь английского математика Артура Кэли.
k3=C’9+3 k5=C’’9+5 k3+k5=(C’+C’’)9+8
3
5 mod 9=8
5
8 mod 9=4
6
5 mod 9=2
m=5
a
b mod m=0
a 
и mod 5
k3=C’5+3
k2=C’’5+2
k1=k2k3=C’C’’25+(C’+C’’)5+6
умножение по модулю m Решётки.
До сих пор нами рассматривались алгебры, то есть множества, на которых заданы операции. Множества, на которых кроме операций, заданы отношения, называются алгебраическими системами. Таким образом, алгебры можно считать частным случаем алгебраических систем, у которых множество алгебраических отношений пусто. Другим частным случаем алгебраических систем являются модели – множества, на которых заданы только отношения.
Рассмотрим здесь лишь один пример алгебраической системы, который наиболее часто встречается в теоретической алгебре и её приложениях - решётки.
Решёткой называется множество 
, частично упорядоченное отношением нестрогого порядка 
, с двумя бинарными операциями 
и 
, такое что выполнены следующие условия (аксиомы решётки):
1. 
(идемподентность);
2. 
(коммутативность);
3. 
(ассоциативность);
4. 
(поглощение).
Решётка называется дистрибутивной, если выполняются два следующих условия 
и 
.
Если в решётке существует элемент 0, такой что для любого 
выполняется 
, то он называется нижней гранью (нулём) решётки.
Если в решётке существует элемент 1, такой что для любого 
выполняется 
, то он называется верхней гранью (единицей) решётки.
Решётка, имеющая верхнюю и нижнюю грани, называется ограниченной.
Теорема. Если нижняя (верхняя) грань решётки существует, то она единственная.
В ограниченной решётке элемент 
называется дополнением элемента 
, если 
и 
.
Пример.
а) Любое полностью упорядоченное множество, например, множество целых чисел, можно превратить в решётку, определив для любых 
, что 
и 
.
б) Определим на множестве натуральных чисел отношение частичного порядка следующим образом: 
, если 
является делителем 
. Тогда 
есть наименьшее общее кратное этих чисел, а 
их наибольший общий делитель.
Решётка, в которой пересечение и объединение существуют для любого подмножества её элементов, называется полной. Конечная решётка всегда полна.
Рассмотрим множество чисел (1, 2, …, n). Подстановкой назовем всякую биекцию (взаимно однозначно равную) его на себя. 
Пусть несущее множество – это множество подстановок длины n. Введем операцию, которую назовем композицией подстановок.
=
=
Единичная подстановка 
=e
Рассмотрим уравнение 
*x=e, x=
-1
Для 
x=
-1
L=
L-1=
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
