Алгебраические системы Операции и алгебры. N-местные операции. Алгебры. Операция замыкания и подалгебры. Морфизмы: гомоморфизм и изоморфизм (стр. 1 )

Алгебраические системы

Операции и алгебры. N-местные операции. Алгебры. Операция замыкания и подалгебры. Морфизмы: гомоморфизм и изоморфизм

На множестве А определена алгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.

Примерами алгебраических операций могут служить такие операции как сложение и вычитание целых чисел, сложение и вычитание векторов, матриц, умножение квадратных матриц, векторное умножение векторов и др.

Отметим, что скалярное произведение векторов не может считаться алгебраической операцией, т. к. результатом скалярного произведения будет число, и числа не относятся к множеству векторов, к которому относятся сомножители.

Пример: 3+2=5 (3,2)5

Замечание. Вообще говоря, операция, определённая таким образом, называется бинарной, поскольку в ней участвуют два элемента. Но также можно говорить  об унарных операциях, в которых участвует только один элемент данного множества, и в соответствие ему однозначным образом поставлен второй элемент этого множества. Таковы, например, операции извлечения корня квадратного или нахождения модуля числа.

Аналогично можно определить тернарную и прочие операции на данном множестве, в зависимости от количества участвующих в них элементов. В общем случае, операцией на множестве М будем называть функцию типа . Число n называется арностью операции.

Пример: двойное векторное произведение [[, ], ] – тернарная операция, смешанное произведение не является операцией, так как мы попадаем в другое множество.

Операция , отображающая любой элемент множества в себя, называется тождественной операцией.

       Тождественной операцией на множестве , например, является умножение на единицу.

Для того чтобы описанные ниже соотношения выглядели бы более привычно, положим результат применения бинарной операции элементам записывать не в функциональном виде , а виде , принятом для записи арифметических операций.

Операция называется коммутативной, если для любых элементов выполняется: .

       Операции сложения и умножения чисел коммутативны, а вычитание и деление некоммутативны. Также некоммутативна операция умножения матриц (как известно из курса линейной алгебры).

       Операция называется ассоциативной, если для любых элементов выполняется: .

       Выполнение условия ассоциативности означает, что скобки в выражении можно не расставлять. Сложение и умножение чисел ассоциативны, что и позволяет не ставить скобки в выражениях типа и . В качестве примера неассоциативной операции можно привести возведение в степень.

Важным примером ассоциативной операции является композиция отображений.

Операция называется дистрибутивной слева относительно операции , если для любых выполняется:

,

и дистрибутивной справа относительно операции , если для любых выполняется:

.

Наличие свойства дистрибутивности позволяет раскрывать скобки. Например, умножение дистрибутивно относительно сложения (и вычитания) и справа, и слева:

.

Возведение в степень дистрибутивно относительно умножения справа: , но не слева: . Сложение (и вычитание) чисел недистрибутивно относительно умножения: .

Пусть дано некоторое множество , на котором задана совокупность операций . Структура вида называется алгеброй; множество называется несущим множеством, совокупность операций - сигнатурой, вектор “” операций называется типом.

Таким образом, алгеброй называется множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций. Множество М называется основным (несущим) множеством. Вектор арностей операций называется типом алгебры, множество Ω - сигнатурой (совокупностью операций).

Пример. A={R, +, *}

Гомоморфизм и изоморфизм

Алгебры с различными типами (в смысле, определённом в пункте 1), очевидно, имеют существенно различное строение. Если же алгебры имеют одинаковый тип, то наличие у них сходства характеризуется вводимых ниже понятий.

Гомоморфизм и изоморфизм – вводятся для отражения схожести, подобие математических структур.

Пусть даны две алгебры и . Гомоморфизмом алгебры в алгебру называется функция , такая, что для всех выполняется условие:

для любого . (*)

Г: ln x=y

ln (ab)=ln a+ln b

(R+; ), (R; +)

Смысл данного определения состоит в следующем. Независимо от того, выполнена ли сначала операция в алгебре , а потом произведено отображение , либо сначала произведено отображение , а потом в алгебре выполнена соответствующая операция , результат будет одинаков.