Тема 7. Квантовая теория электропроводности металлов 7.1. Квантовая теория свободных электронов (стр. 2 )

перпендикулярны,  на каждой из осей в одинаковом масштабе указываются значения проекций волнового вектора в единицах . Каждой паре состояний, отличающихся значением спинового квантового числа, т. е. каждой тройке чисел , в - пространстве соответствует одна точка. Поскольку энергия электрона пропорциональна  (см. равенство 7.6), все состояния, имеющие одинаковую энергию,  находятся на поверхности сферы радиуса . Количество состояний, энергия которых не превышает значения

                                       ,                         (7.7)

равно удвоенному количеству точек, содержащихся внутри и на поверхности сферы радиуса . Так как на каждую единицу объема сферы приходится только одна точка, количество состояний численно равно удвоенному объему сферы:

                                       .                                (7.8)

Исключим из (7.7) и (7.8) переменную и продифференцируем полученное равенство по энергии:

                               , ;

                               .

Здесь – количество состояний с энергией в промежутке . Отношение   представляет собой плотность состояний, т. е. их количество, приходящееся на единичный промежуток энергии:

       .                 (7.9)

       Пусть в металлическом проводнике объемом   содержится свободных электронов ( - их количество в единице объема). В соответствии с принципом Паули, при температуре абсолютного нуля эти электроны располагаются по одному в каждом состоянии, начиная с состояния с наименьшей энергией. Поэтому все состояния с энергией, меньшей вполне определенного для каждого металла значения (), будут заполнены электронами, а состояния с большей энергией останутся свободными. Энергия, обозначенная , называется энергией Ферми при , а соответствующий энергетический уровень – уровнем Ферми. Численное значение можно найти, положив количество состояний электронов равным их количеству в металле:

.  (7.9 А)

Подставив в это равенство численные значения всех величин, а также типичное для металлов значение 1/см3, найдем, что 5 эВ.

       На рис. 7.1 приведен график функции (7.9) при К.  Легко видеть, что

                                       ,

т. е. площадь под кривой  численно равен количеству состояний электронов в металле.  Нагревание металла сопровождается переходом

                       

Рис. 7.1

электронов с уровней, примыкающих к уровню Ферми, на вышележащие уровни. В результате этого график изменится, как показано на рис. 7.1 пунктирной линией. Понятно, что площадь под кривой не изменится и останется равной  .

7.2. Распределение Ферми-Дирака

       Как уже отмечалось, при температуре абсолютного нуля в каждом из состояний, энергия которых не превышает энергию Ферми для данного металла, находится один электрон; в состояниях с электронов нет. Поэтому функция распределения электронов по энергиям при , численно равная вероятности пребывания электрона в состоянии с энергией  , имеет вид:

                               

График функции распределения для изображен на рис. 7.2 сплошной линией.

                               

Рис. 7.2

Для того чтобы найти функцию распределения при температуре выше абсолютного нуля, рассмотрим неупругие столкновения электрона с атомом, находящимся в узле кристаллической решетки. Будем считать, что атом может находиться в одном из двух состояний, энергия которых равна 0 либо . Вероятность столкновения, в результате которого электрон переходит из состояния с энергией в состояние с энергией  , а  атом – из состояния с энергией  в состояние с нулевой энергией, пропорциональна:

- вероятности пребывания электрона в состоянии с энергией  , которая равна ;

       - вероятности  того, что состояние электрона с энергией  свободно;