- вероятности 
того, что атом металла находится в состоянии с энергией 
.
Обозначив вероятность такого столкновения 
, имеем:
. (7.10)
Вероятность обратного процесса, в котором энергия электрона уменьшается, а энергия атома увеличивается на 
, пропорциональна вероятности пребывания электрона в состоянии с энергией 
, вероятности того, что состояние электрона с энергией 
свободно, а также вероятности пребывания атома металла в состоянии с нулевой энергией. В соответствии с этим
. (7.11)
В равновесном состоянии вероятности (7.10) и (7.11) должны быть равны, поэтому
.
Учитывая, что вероятность пребывания атома в состоянии с энергией, равной нулю и 
, определяется распределением Больцмана, имеем:
. (7.12)
Можно показать, что при условии
(7.13)
равенство (7.12) выполняется для любой температуры (здесь 
- энергия Ферми, или химический потенциал). Действительно, поскольку
,
произведение в левой части (7.12) всегда равно 
. Из (7.13) следует, что
. (7.14)
Функция (7.14) называется распределением Ферми-Дирака; этому распределению подчиняются все микрочастицы, обладающие полуцелым спином (т. н. фермионы). Фермионы следуют принципу запрета Паули, т. е. никогда не занимают состояния, в котором уже находится одна частица. Из (7.14) получается, что при 
и 
функция распределения имеет значение, равное единице. Если же 
, то 
. Это соответствует тому, что при температуре абсолютного нуля верхний из заполненных уровней совпадает с уровнем Ферми. При 
этот уровень расположен выше уровня Ферми; график функции (7.14) для этого случая изображен на рис. 7.2 пунктирной линией. Поскольку энергия Ферми имеет значение порядка 5 эВ, что значительно больше средней энергии теплового движения при обычных температурах (
эВ), пунктирный «хвост» графика занимает узкий промежутке шириной порядка 
. Поэтому лишь очень небольшая часть электронов металла, энергия которых имеет значение в «хвосте», может переходить на другие уровни, т. е. воспринимать тепловую энергию. Именно в этом заключается причина того, что теплоемкость металлов практически совпадает с теплоемкостью диэлектриков, которые вообще не имеют свободных электронов.
Интересно отметить, что если 
, то
.
Так как второй сомножитель в правой части можно рассматривать как константу, последнее равенство по существу представляет собой распределение Больцмана. Следовательно, поведение свободных электронов в различных проводниках зависит от соотношения средней энергии теплового движения и энергии Ферми. Различаются два предельных случая.
; в такой ситуации электронный газ в проводниках называется вырожденным (электроны не могут располагаться на уровнях выше уровня Ферми). 
; в этом случае газ свободных электронов называется невырожденным (энергии теплового движения достаточно для перехода электронов на уровни выше уровня Ферми). Легко видеть, что в металлах средняя энергия теплового движения электронов равна энергии Ферми при температурах порядка 30000 К. Поэтому вплоть до температуры плавления электронный газ в металлах можно считать вырожденным. В полупроводниковых материалах концентрация свободных электронов и, соответственно, энергия Ферми значительно меньше, чем в металлах. Из этого следует, что уже при комнатной температуре электронный газ в полупроводниках следует считать невырожденным, подчиняющимся распределению Больцмана.
7.3. Динамика электронов в кристаллической решетке
Ранее уже говорилось о том, что импульс свободного электрона связан с волновым вектором дебройлевской волны соотношением 
. Из этого равенства следует, что изменение волнового вектора на 
приводит к изменению импульса электрона на 
. Поскольку векторы 
и 
сонаправлены, в скалярной форме имеем: 
. Согласно соотношениям неопределенностей 
; заменив здесь 
на 
, получим: 
.
Таким образом, при ненулевой неопределенности координаты электрона имеется отличная от нуля неопределенность волнового вектора. Следовательно, дебройлевская волна электрона представляет собой суперпозицию монохроматических плоских волн, волновые числа которых имеют значения в промежутке протяженностью 
. Как известно, такая совокупность волн называется волновым пакетом, или группой волн. Скорость перемещения волнового пакета называется групповой скоростью:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
