ТЕМА 7. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ
МЕТАЛЛОВ
7.1. Квантовая теория свободных электронов
Ранее уже рассматривалась классическая теория свободных электронов в металлах, в рамках которой получил объяснение закон Ома, закон Джоуля-Ленца и закон Видемана-Франца (согласно этому закону отношение коэффициентов теплопроводности и электропроводности для всех металлов одинаково и пропорционально термодинамической температуре). Вместе с тем классическая теория не смогла объяснить то, что экспериментально измеренные значения теплоемкость металлов и диэлектриков практически одинаковы. Иначе говоря, из опыта следует, что свободные электроны не воспринимают тепловую энергию, т. е. не играют никакой роли в формировании теплоемкости металлов. В настоящем разделе мы рассмотрим основы простейшей квантовой теории свободных электронов, в рамках которой получили разрешение многие вопросы, в том числе касающиеся теплоемкости. Современная квантовомеханическая теория электронов в кристаллах (т. н. зонная теория) будет рассматриваться позже).
Пусть свободные электроны перемещаются в металлическом проводнике, который имеет форму куба со стороной 
. Стационарное уравнение Шредингера для волновой функции таких электронов имеет вид:
. (7.1)
Решение этого уравнения имеет вид:
(7.2)
(здесь 
- волновой вектор дебройлевской волны). Энергию нерелятивистского электрона можно выразить через волновой вектор:
, 
, 
. (7.3)
Для того чтобы найти 
в равенстве (7.2), воспользуемся условием нормировки волновой функции:
, 
.
Поскольку область интегрирования представляет собой куб объемом 
, имеем:
.
Полагая 
вещественной величиной, получим:
, 
. (7.4)
Волновая функция (7.4) должна удовлетворять граничным условиям, из которых следует ее периодичность с периодом 
. Можно показать, что в этом случае компоненты волнового вектора имеют следующие значения:
, 
, 
, (7.5)
где 
, 
, 
- целые числа.
Таким образом, волновой вектор, энергия и импульс свободных электронов в металле представляют собой квантованные величины. Подставив (7.5) в равенство (7.3), получим:
. (7.6)
Понятно, что одному и тому же значению суммы
соответствует несколько возможных комбинаций чисел 
(кроме случая 
). Ясно так же, что волновая функция электрона и, соответственно, его состояние определяется значениями тройки чисел 
, а также спиновым квантовым числом, которое может принимать одно из двух значений 
. Следовательно, определенному значению энергии электрона соответствует, вообще говоря, несколько возможных состояний. Иначе говоря, уровни энергии электрона в металле являются вырожденными. Например, если 
электрон может находиться в одном из двух возможных состояний, соответствующих двум значениям 
. В таком случае принято говорить, что кратность вырождения энергетического уровня равна двум. Если же 
, то этому уровню соответствует уже 12 различных состояний (см. Таблицу 1). Очевидно, что с
Таблица 1.
|
|
|
|
|
1 | 0 | 0 |
| 2 |
0 | 1 | 0 |
| 2 |
0 | 0 | 1 |
| 2 |
-1 | 0 | 0 |
| 2 |
0 | -1 | 0 |
| 2 |
0 | 0 | -1 |
| 2 |
увеличением значений 
, т. е. с увеличением энергии электрона, возрастает и кратность вырождения.
Возможные состояния электрона удобно изображать точками в т. н. 
- пространстве. Оси системы координат в таком пространстве взаимно
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
