Как уже отмечалось, нарушение строгой периодичности расположения атомов связано с различного рода дефектами – неконтролируемыми примесями других химических элементов, вакансиями, дислокациями, а также тепловыми колебаниями атомов. Понятно, что чем ниже температура и совершеннее кристалл, тем меньше его электрическое сопротивление. Расчеты показывают, что коэффициент рассеяния 
(величина, определяющая долю рассеянных электронов) приблизительно равен 
, где 
- средняя длина свободного пробега электрона. Этот же коэффициент можно выразить через характеристики кристалла:
(здесь 
- концентрация атомов в кристалле, 
- постоянная Больцмана, 
- модуль Юнга, 
- межатомное расстояние). Имеем:
.
Подставив в это равенство численные значения всех величин, получим:
,
т. е. средняя длина свободного пробега составляет примерно 100 межатомных расстояний. Этот результат подтверждает предположение о том, что электроны тока проводимости рассеиваются не на атомах металла, а на нарушениях периодичности их расположения.
Ранее мы уже получили закон Ома в рамках классической теории в виде соотношения между плотностью тока проводимости и напряженностью внешнего электрического поля:
.
Здесь 
- вектор плотности тока, 
- напряженность поля, 
- удельная электропроводность:
(7.20)
(
- концентрация свободных электронов, 
- модуль заряда электрона, 
- средняя длина свободного пробега, 
- масса электрона, 
- средняя скорость его теплового движения). Поскольку в модели идеального газа
,
из равенства (7.20) следует, что 
. Далее получим выражение для удельной электропроводности в рамках квантовомеханической теории.
В отсутствие внешнего электрического поля скорость упорядоченного движения (дрейфа) электронов равна нулю, ток в проводнике отсутствует. При включении внешнего поля скорость дрейфа становится отличной от нуля, т. е. возникает электрический ток. Согласно закону Ома, скорость дрейфа постоянна при неизменной напряженности поля. Следовательно, кроме кулоновской силы 
на электроны в металле действует еще одна сила, которую мы условно назовем силой сопротивления. Будем полагать, что эта сила пропорциональна первой степени скорости:
(7.20А)
(здесь 
- коэффициент пропорциональности, 
- скорость дрейфа). В соответствии с этим динамическое уравнение движения электрона имеет вид:
. (7.21)
После выключения внешнего поля скорость дрейфа начинает убывать, и спустя некоторое время становится равной нулю. Для того чтобы найти закон убывания скорости, положим в уравнении (7.21) 
и перепишем его для проекций векторов скорости и напряженности на направление тока:
(поскольку производная в левой части уравнения отрицательна, а проекция скорости дрейфа положительна, правая часть умножается на минус единицу). В результате интегрирования последнего уравнения имеем:
, 
.
Пусть при 
дрейфовая скорость электрона равна 
. Тогда 
,
.
Найдем промежуток времени, в течение которого скорость дрейфа уменьшается в 
раз:
. (7.22)
Этот промежуток времени называется временем релаксации; он характеризует процесс установления равновесия между электронами проводимости и кристаллической решеткой, нарушенного внешним полем. С учетом (7.22) равенство (7.20А), определяющее силу сопротивления, примет вид:
.
Приравняв к нулю сумму сил, выразим скорость дрейфа:
. (7.23)
Как известно, плотность тока проводимости в металлах связана со скоростью дрейфа электронов следующим равенством: 
, где 
- концентрация электронов. Заменив здесь вектор 
согласно (7.23), получим:
.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
